Εσωτερικά σημεία πολυγώνου

[Al.Koutsouridis]

Το σχολικό βιβλίο, αν δεν κάνω λάθος, ορίζει τα εσωτερικά σημεία μόνο ενός κυρτού πολυγώνου. Πως θα ορίζατε τα εσωτερικά σημεία ενός πολυγώνου (μη κυρτού) σύμφωνα με τα του σχολικού βιβλίου;

[rek2]

Εσωτερικά σημεία κυρτού πολυγώνου, σύμφωνα, με το σχολικό βιβλίο, είναι τα κοινά σημεία των γωνιών του.

Κάτι αντίστοιχο, δεν δουλεύει για μη κυρτό;;

[Al.Koutsouridis]

Εσωτερικά σημεία κυρτού πολυγώνου, σύμφωνα, με το σχολικό βιβλίο, είναι τα κοινά σημεία των γωνιών του.

Κάτι αντίστοιχο, δεν δουλεύει για μη κυρτό;;

Χμ...Σε μία κορυφή του μη κυρτού πολυγώνου πως θα διαλέγουμε ποιά γωνία εξετάζουμε, την κυρτή ή μη κυρτή;

Ακόμα και στον ορισμό για το κυρτό πολύγωνο δεν αναφέρεται ποια γωνία εξετάζουμε αλλά ας υποθέσουμε την κυρτή.

[Al.Koutsouridis]

Εσωτερικά σημεία κυρτού πολυγώνου, σύμφωνα, με το σχολικό βιβλίο, είναι τα κοινά σημεία των γωνιών του.

Κάτι αντίστοιχο, δεν δουλεύει για μη κυρτό;;

Χμ...Σε μία κορυφή του μη κυρτού πολυγώνου πως θα διαλέγουμε ποιά γωνία εξετάζουμε, την κυρτή ή μη κυρτή;

Ακόμα και αν διαλέξουμε την κατάλληλη κυρτή ή μη κυρτή γωνία, υπάρχει περίπτωση κάποιες γωνίες να μην έχουν κοινά σημεία, για παράδειγμα στο σχήμα παρακάτω.

eswterika_shmeia.png (4.26 KiB) Προβλήθηκε 1460 φορές

[Μάρκος Βασίλης]

Παιδεύτηκα αρκετή ώρα και το μόνο που κατέληξα είναι το εξής:

Αρχικά, για ένα τετράπλευρο - κυρτό ή μη - ο ορισμός των εσωτερικών σημείων ως τομή όλων των γωνιών είναι ορθός. Για περισσότερες από τέσσερις κορυφές, αυτό μπορεί να διαμεριστεί σε (κυρτά ή μη κυρτά) τετράπλευρα και, αν το πλήθος των κορυφών είναι περιττό, ένα τρίγωνο. Μπορούμε να ορίσουμε ως εσωτερικό του πολυγώνου, λοιπόν, την ένωση των εσωτερικών αυτών των τετραπλεύρων (και του τριγώνου), μαζί με τις "διαγωνίους" που χρησιμοποιήσαμε.

Ομολογουμένως, δεν πατάει εξ ολοκλήρου στο βιβλίο, αλλά προσπάθησα όσο γινόταν να αποφύγω μία καθαρά αναλυτική απόδοση του ορισμού - κρύβοντας κάπως τις ανοικτές μπάλες, δηλαδή.

[Al.Koutsouridis]

Παιδεύτηκα αρκετή ώρα και το μόνο που κατέληξα είναι το εξής:

Αρχικά, για ένα τετράπλευρο - κυρτό ή μη - ο ορισμός των εσωτερικών σημείων ως τομή όλων των γωνιών είναι ορθός. Για περισσότερες από τέσσερις κορυφές, αυτό μπορεί να διαμεριστεί σε (κυρτά ή μη κυρτά) τετράπλευρα και, αν το πλήθος των κορυφών είναι περιττό, ένα τρίγωνο. Μπορούμε να ορίσουμε ως εσωτερικό του πολυγώνου, λοιπόν, την ένωση των εσωτερικών αυτών των τετραπλεύρων (και του τριγώνου), μαζί με τις "διαγωνίους" που χρησιμοποιήσαμε.

Ομολογουμένως, δεν πατάει εξ ολοκλήρου στο βιβλίο, αλλά προσπάθησα όσο γινόταν να αποφύγω μία καθαρά αναλυτική απόδοση του ορισμού - κρύβοντας κάπως τις ανοικτές μπάλες, δηλαδή.

Η αλήθεια είναι και εγώ δεν έχω κάποιο ορισμό βασιζόμενο πάνω στα εσωτερικά σημεία γωνίας. Ως μαθητής δεν είχα αναρωτηθεί, είμαι σίγουρος όμως ότι πολλοί μαθητές έχουν εκφράσει αυτή την απορεία. Τι θα τους λέγαμε; Κοιτάζοντας τώρα κάποια άλλα πράματα ήθελα να μοιραστώ τον προβληματισμό. Πιθανόν η δυσκολία στον ορισμό να είναι ισοδύναμη με το να δείξουμε ότι κάθε απλή κλειστή τεθλασμένη χωρίζει το επίπεδο σε δυο χωρία το εσωτερικό και εξωτερικό. Δηλαδή μια απλούστερη εκδοχή του θεωρήματος Jordan.

[Μάρκος Βασίλης]

Η αλήθεια είναι και εγώ δεν έχω κάποιο ορισμό βασιζόμενο πάνω στα εσωτερικά σημεία γωνίας. Ως μαθητής δεν είχα αναρωτηθεί, είμαι σίγουρος όμως ότι πολλοί μαθητές έχουν εκφράσει αυτή την απορεία. Τι θα τους λέγαμε; Κοιτάζοντας τώρα κάποια άλλα πράματα ήθελα να μοιραστώ τον προβληματισμό. Πιθανόν η δυσκολία στον ορισμό να είναι ισοδύναμη με το να δείξουμε ότι κάθε απλή κλειστή τεθλασμένη χωρίζει το επίπεδο σε δυο χωρία το εσωτερικό και εξωτερικό. Δηλαδή μια απλούστερη εκδοχή του θεωρήματος Jordan.

Σίγουρα το θεώρημα Jordan είναι ένα «άνω φράγμα» σε ό,τι αφορά τη δυσκολία του να αποδώσουμε αυτόν τον ορισμό. Ωστόσο, δεν ξέρω αν μπορούμε να αρκεστούμε μόνο στην έννοια των εσωτερικών σημείων μίας γωνίας - μαζί με τις συνολοθεωρητικές πράξεις. Βασικά, για να είμαι ακριβέστερος, δε νομίζω να μπορούμε να αρκεστούμε σε αυτά μόνο και να δώσουμε και έναν ορισμό που να είναι χρήσιμος σε μία τάξη. Ίσως θα ήταν καλύτερη μία διαισθητική προσέγγιση του ζητήματος - π.χ. να γίνει έμμεση αναφορά στο θεώρημα του Jordan.

Για να συνεχίσω λίγο τις σκέψεις μου, νομίζω ότι μία έννοια που θα μας φανεί ιδιαίτερα χρήσιμη είναι αυτή της διαμέρισης. Πέρα από τον ορισμό στο παραπάνω σχόλιο του νήματος, μπορούμε να σκεφτούμε ως εξής: Κάθε ευθεία που τέμνει ένα πολύγωνο, διαμερίζεται σε τριών κατηγοριών αντικείμενα:

α) σημεία - αν τέμνει μόνο κορυφές του πολυγώνου,
β) ευθύγραμμα τμήματα και,
γ) δύο ημιευθείες.

Μπορούμε να ορίσουμε ως εσωτερικό του πολυγώνου την ένωση όλων των ευθυγράμμων τμημάτων που προκύπτουν από τη διαμέριση κάθε ευθείας. Μάλιστα, μπορούμε να περιοριστούμε σε μία δέσμη παράλληλων ευθειών - με όποια κλίση θέλουμε - έτσι ώστε να μην έχουμε και επικαλύψεις.

Βέβαια, κι αυτός ο ορισμός δεν ξέρω κατά πόσον είναι λειτουργικός σε μία τάξη - σίγουρα είναι λίγο μακριά από το βιβλίο.