Γνωστή πρόταση

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9189
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Γνωστή πρόταση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μαρ 30, 2020 4:31 pm

Ας συγκεντρώσουμε εδώ, όσους περισσότερους τρόπους μπορούμε για να αποδείξουμε τη γνωστή πρόταση:

Η διχοτόμος τριγώνου κείται μεταξύ του ύψους και της διαμέσου που άγονται από την ίδια κορυφή.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12126
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Γνωστή πρόταση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Μαρ 30, 2020 7:23 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Μαρ 30, 2020 4:31 pm
Ας συγκεντρώσουμε εδώ, όσους περισσότερους τρόπους μπορούμε για να αποδείξουμε τη γνωστή πρόταση:

Η διχοτόμος τριγώνου κείται μεταξύ του ύψους και της διαμέσου που άγονται από την ίδια κορυφή.
Ας κάνω την αρχή. Για ευκολία ας θεωρούμε χωρίς βλάβη ότι B\ge C και άρα b\ge c.

Έχουμε \angle BAD= \dfrac {A}{2} =  90 -\dfrac {B+C}{2} \ge 90 - B = \angle BAK. Άρα η διχοτόμος είναι "δεξιά" του ύψους.

Επίσης BD:DC= c:b\le 1 = BM:MC, άρα το D είναι "αριστερά" του M.
Συνημμένα
ips-dih-diam.png
ips-dih-diam.png (6.13 KiB) Προβλήθηκε 409 φορές


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3005
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Γνωστή πρόταση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μαρ 30, 2020 11:18 pm

Η πρόταση είναι της Απολύτου Γεωμετρίας.
(δεν χρειάζεται το αξίωμα των παραλλήλων)
Οτι θα χρησιμοποιήσω βρίσκεται στο σχολικό βιβλίο και οι
αποδείξεις εκεί δεν χρησιμοποιούν το αξίωμα των παραλλήλων.
Στο σχήμα του Μιχάλη (αν και δεν χρειάζεται σχήμα)
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι AB<AC
Στην περίπτωση που είναι ίσες και τα τρία συμπίπτουν.
Εχουμε AK,AD,AM το ύψος ,διχοτόμος,διάμεσος.
Θεωρούμε ότι \angle ABC<90
Αυτό που θέλουμε να δείξουμε είναι στην ουσία ότι:
\angle BAK< \angle KAC,\angle BAM> \angle MAC
Για το πρώτο
Παίρνω το συμμετρικό του B ως προς το K ,έστω K'.
Είναι AB=AK'
Απο γνωστή πρόταση το K' βρίσκεται μεταξύ των Kκαι C.
Ετσι \angle BAK=\angle KAK'<\angle KAC

Για το δεύτερο.
Παίρνω το συμμετρικό του A ως προς το M έστω A'
Τα τρίγωνα ABM,MA'C είναι ίσα.
Ετσι \angle BAM=\angle MA'C
και AB=CA'
Επειδή AC>CA' από γνωστή πρόταση είναι
\angle MAC<\angle MA'C=\angle BAM

Αν \angle ABC\geq90 τότε η απόδειξη για την διάμεσο παραμένει η ίδια
ενώ για το ύψος είναι σχεδόν τετριμμένη.

Συμπλήρωμα.
Για να δούμε και την απόδειξη του τετριμμένου.
Αν \angle ABC=90 τότε τα B,K ταυτίζονται και τελειώσαμε.
Διαφορετικά θα δείξουμε ότι έχουμε την διάταξη K,B,C .
Γιατί σε διαφορετική περίπτωση η γωνία \angle ABC θα ήταν εσωτερική
τριγώνου που η απέναντι εξωτερική είναι 90
που δίνει ΑΤΟΠΟ.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1809
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Γνωστή πρόταση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Μαρ 31, 2020 5:30 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Μαρ 30, 2020 4:31 pm
Ας συγκεντρώσουμε εδώ, όσους περισσότερους τρόπους μπορούμε για να αποδείξουμε τη γνωστή πρόταση:

Η διχοτόμος τριγώνου κείται μεταξύ του ύψους και της διαμέσου που άγονται από την ίδια κορυφή.
Έστω AD ύψος AE διχοτόμος AM διάμεσος.Αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές τότε D \equiv E \equiv M

Υποθέτουμε ότι b>c

B>C \Leftrightarrow b>c \Leftrightarrow ab>ac \Leftrightarrow ab+ac>2ac \Leftrightarrow  \dfrac{ac}{b+c} < \dfrac{a}{2}  \Leftrightarrow BD<BM

άρα η διχοτόμος είναι αριστερά της διαμέσου

Ας υποθέσουμε ότι E είναι μεταξύ των B,D .Τότε  \angle AEB >90^0\Rightarrow  \dfrac{A}{2}+C> \dfrac{A}{2}+ \dfrac{B}{2}+ \dfrac{C}{2}  > \Rightarrow C>B άτοπο
ύψος-διάμεσος-διχοτόμος.png
ύψος-διάμεσος-διχοτόμος.png (8.56 KiB) Προβλήθηκε 293 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διδακτική των Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης