-- Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι υπάρχει ένας ... τελευταίος πρώτος ... και ας καταλήξουμε σε άτοπο.
-- Πως;
-- Αν σου δώσω έναν πρώτο, πχ τον 2 ή τον 3, μπορείς να τον χρησιμοποιήσεις για να κατασκευάσεις έναν μεγαλύτερο πρώτο;
-- Βλέπω ότι 2 + 1 = 3 (πρώτος), αλλά 3 + 1 = 4 (μη πρώτος) ... χμμ ... δύσκολο μου φαίνεται, δεν έχω καμμιά καλή ιδέα...
-- Δεν σε αδικώ, υπάρχουν τρόποι, αλλά δεν είναι απλοί...
-- Τι να κάνουμε τότε;
-- Στο δεύτερο παράδειγμα σου ο 3 + 1 δεν είναι πρώτος, αλλά επίσης δεν διαιρείται δια του 3, σωστά;
-- Σωστά, λοιπόν αν Μ είναι ο τελευταίος πρώτος, ο Μ + 1 δεν διαιρείται δια του Μ ... αλλά πως μας βοηθάει αυτό, αφού μπορεί κάλλιστα να διαιρείται από κάποιον μικρότερο πρώτο (όπως ο 3 + 1 διαιρείται δια του 2);
-- Θα μπορούσαμε άραγε να βρούμε κάποιον άλλον αριθμό που να μην διαιρείται ούτε από το Μ ούτε από τους πρώτους πριν απ αυτόν;
-- Δεν μούρχεται καμιά ιδέα...
-- Ας ξεφύγουμε απ αυτόν τον μεγάλο άγνωστο Μ, ας το κάνουμε πιο συγκεκριμένο: μπορείς να βρεις έναν αριθμό που δεν διαιρείται ούτε από τον 2 ούτε από τον 3;
-- Φυσικά, ο 5!
-- Δεν φτάνει αυτό όμως, θέλω έναν αριθμό που να μπορεί να βρεθεί μόνον με την βοήθεια του 2 και του 3...
-- Δηλαδή;
-- Θέλω να φτιάξεις έναν αριθμό που να προκύπτει με πράξεις από το 2 και το 3 και να μην διαιρείται απ αυτούς!
-- Χμμ, 2 επί 3 συν 1 ίσον 7; Ο 7 είναι πρώτος, άρα δεν διαιρείται ούτε δια του 2 ούτε δια του 3.
-- Σωστά, μπορείς όμως να αιτιολογήσεις ότι ο 7 δεν διαιρείται ούτε δια του 2 ούτε δια του 3 ... ΧΩΡΙΣ να γνωρίζεις ότι είναι πρώτος;
-- Τώρα που το σκέφτομαι, νομίζω πως ναι: αν πχ ο 3 διαιρεί τον 2 x 3 + 1 τότε, επειδή διαιρεί προφανώς και τον 2 x 3 ... θα διαιρεί και την διαφορά τους, δηλαδή τον 1, άτοπο!
-- Ακριβώς, μπορείς να κάνεις τώρα κάτι ανάλογο με τους τρεις πρώτους πρώτους, 2, 3, 5;
-- Φυσικά, 2 x 3 x 5 + 1 = 31, πρώτος! Και 2 x 3 x 5 x 7 + 1 = 211, πρώτος -- τελειώσαμε!
-- Όχι ακριβώς, δυο βήματα πιο πέρα θα έχεις πρόβλημα, καθώς 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 30031 = 59 x 509!
-- Πλάκα μου κάνεις!
-- Είναι ένα από τα αγαπημένα μου παραδείγματα
-- Δηλαδή δεν πιάνει αυτό το κόλπο; Τζάμπα τόσος κόπος;!
-- Για πρόσεξε λίγο παραπάνω το τελευταίο μας παράδειγμα: αν κάποιος σου έλεγε ότι ο 13 είναι ο τελευταίος πρώτος ... τι θα του έλεγες;
-- Θα του έλεγα ότι η μέθοδος μας έφτιαξε όχι έναν αλλά ΔΥΟ πρώτους μεγαλύτερους του 13!
-- Ακριβώς: μπορεί να μην είναι πρώτος ο 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1, ξέρουμε όμως ότι δεν μπορεί να διαιρείται δια κάποιου πρώτου μικρότερου ή ίσου του 13 ...
-- ... άρα ή είναι πρώτος, μεγαλύτερος φυσικά του 13, ή έχει κάποιον πρώτο παράγοντα -- δύο τουλάχιστον -- μεγαλύτερο του 13 ... κι αυτό το ξέρω ΧΩΡΙΣ να χρησιμοποιήσω το κομπιουτεράκι!
--
-- ... Κι αυτό το τέχνασμα μπορούμε τώρα να το εφαρμόσουμε όποιος και να είναι ο υποτιθέμενος τελευταίος πρώτος Μ -- τελειώσαμε!
-- Τώρα, ΝΑΙ
Γιώργος Μπαλόγλου
