Τετράγωνος αριθμός

#1

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{A = 444...4 - 888...8}$ , είναι τέλειο τετράγωνο,

όπου τα τεσσάρια είναι 100

στο πλήθος και τα οκτάρια είναι

στο πλήθος.

(Και γενικώτερα ισχύει αν τα τεσσάρια είναι $\displaystyle{2n}$ στο πλήθος και τα οκτάρια $\displaystyle{n}$ .)

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 30, 2021 9:49 pm
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{A = 444...4 - 888...8}$ , είναι τέλειο τετράγωνο,

όπου τα τεσσάρια είναι στο πλήθος και τα οκτάρια είναι στο πλήθος.

(Και γενικώτερα ισχύει αν τα τεσσάρια είναι $\displaystyle{2n}$ στο πλήθος και τα οκτάρια $\displaystyle{n}$ .)

Γράφοντας τον 111...1

(

άσσοι) ως $\dfrac {999...9}{9}= \dfrac {10^m-1}{9}$ , έχουμε

$\displaystyle{A = 444...4 - 888...8}= 4\cdot 111...1 - 8\cdot 1111...1= \dfrac {4(10^{2n}-1)}{9} - \dfrac {8(10^{n}-1)}{9} =$

$\displaystyle{=\dfrac {4} {9} (10^{2n} -2 \cdot 10^n+1) = \left ( \dfrac {2} {3}\right ) ^2 (10^{n} -1) ^2= \left (\dfrac {2\cdot 999...9}{3}\right )^2= (2\cdot 333...3)^2=(666...6)^2}}$

#3

Και μια ακόμα λύση, με την σχολική ύλη της Α Γυμνασίου:

$\displaystyle{A=444...4000...0 + 444...4 - 2 . 444...4}$ , όπου $\displaystyle{τα 444...4}$ είναι $\displaystyle{50}$ (ή γενικώτερα $\displaystyle{n}$ ) στο πλήθος και τα $\displaystyle{000...0}$

είναι $\displaystyle{50}$ (ή γενικώτερα $\displaystyle{n}$ ) στο πλήθος.

Άρα $\displaystyle{A = 444...4000...0 - 444...4}$

'Αρα $\displaystyle{A = 444...4 . 10^{50} - 444...4}$

Άρα $\displaystyle{A = 444...4(10^{50} -1) = 4.111...1(999...9) = 4.111...1 . 9.111...1 = 36.111...1^{2} =(6.111...1)^2 = 666...6^2}$

Τετράγωνος αριθμός

Τετράγωνος αριθμός

Re: Τετράγωνος αριθμός

Re: Τετράγωνος αριθμός

Μέλη σε σύνδεση