Τηλεσκοπική Σειρά

Nikitas K. · #1

Έστω, $r\in\mathbb{Z}^+-\{1\}$ και η (τηλεσκοπική) σειρά:

$\displaystyle \sum_{i\in\matbb{Z}^+}\frac{r-1}{r^i} = \frac{r-1}{r} + \frac{r-1}{r^2}+\dots$

i. Να αναπαραστήσετε τη σειρά ως ένα περιοδικό αριθμό στο σύστημα αρίθμησης με βάση

.
ii. Να βρεθεί η πεπερασμένη αναπαράσταση του αριθμού από το

ερώτημα.

#2

Nikitas K. έγραψε: ↑
Παρ Απρ 12, 2024 4:10 pm
Έστω, $r\in\mathbb{Z}^+-\{1\}$ και η (τηλεσκοπική) σειρά:

$\displaystyle \sum_{i\in\matbb{Z}^+}\frac{r-1}{r^i} = \frac{r-1}{r} + \frac{r-1}{r^2}+\dots$

i. Να αναπαραστήσετε τη σειρά ως ένα περιοδικό αριθμό στο σύστημα αρίθμησης με βάση .
ii. Να βρεθεί η πεπερασμένη αναπαράσταση του αριθμού από το ερώτημα.

Ας διευκρινίσω ότι οι σειρές δεν είναι στην ύλη της Α Γυμνασίου. Από εκεί και πέρα η άσκηση είναι απλή (και δεν χρειάζεται να την δούμε ως τηλεσκοπική).

i) Αν θέλουμε να την δούμε ως τηλεσκοπική τότε παρατηρούμε ότι ο γενικός όρος γράφεται $\displaystyle{ \dfrac {1}{r^{i-1} }- \dfrac {1}{r^{i} }}$ . Συνεπώς ο κάθε δεύτερος προσθετέος απλοποιείται από τον πρώτο του επόμενου όρου. Θα μείνει μόνο

(αυτό είναι το ζητούμενο άθροισμα). Έγινε χρήση ορίου, συγκεκριμένα του $\displaystyle{ \lim _{N \to \infty } \dfrac {1}{r^N} =0}$ , το οποίο είναι εκτός ύλης.

Αλλιώς, χωρίς τηλεσκοπικό, το άθροισμα είναι απλούστατα άπειρη γεωμετρική πρόοδος με λόγο 1/r

. Το άθροισμά της κατά τα γνωστά είναι $\displaystyle{ \dfrac {r-1}{r}\cdot \dfrac {1}{1- \frac {1}{r}}=1}$ , όπως πριν.

To ερώτημα για παράσταση του αθροίσματος σε βάση

και λοιπά είναι τώρα τετριμμένο.

Nikitas K. · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Απρ 12, 2024 5:19 pm

Nikitas K. έγραψε: ↑
Παρ Απρ 12, 2024 4:10 pm
Έστω, $r\in\mathbb{Z}^+-\{1\}$ και η (τηλεσκοπική) σειρά:

$\displaystyle \sum_{i\in\matbb{Z}^+}\frac{r-1}{r^i} = \frac{r-1}{r} + \frac{r-1}{r^2}+\dots$

i. Να αναπαραστήσετε τη σειρά ως ένα περιοδικό αριθμό στο σύστημα αρίθμησης με βάση .
ii. Να βρεθεί η πεπερασμένη αναπαράσταση του αριθμού από το ερώτημα.
Ας διευκρινίσω ότι οι σειρές δεν είναι στην ύλη της Α Γυμνασίου. Από εκεί και πέρα η άσκηση είναι απλή (και δεν χρειάζεται να την δούμε ως τηλεσκοπική).

i) Αν θέλουμε να την δούμε ως τηλεσκοπική τότε παρατηρούμε ότι ο γενικός όρος γράφεται $\displaystyle{ \dfrac {1}{r^{i-1} }- \dfrac {1}{r^{i} }}$ . Συνεπώς ο κάθε δεύτερος προσθετέος απλοποιείται από τον πρώτο του επόμενου όρου. Θα μείνει μόνο (αυτό είναι το ζητούμενο άθροισμα). Έγινε χρήση ορίου, συγκεκριμένα του $\displaystyle{ \lim _{N \to \infty } \dfrac {1}{r^N} =0}$ , το οποίο είναι εκτός ύλης.

Αλλιώς, χωρίς τηλεσκοπικό, το άθροισμα είναι απλούστατα άπειρη γεωμετρική πρόοδος με λόγο . Το άθροισμά της κατά τα γνωστά είναι $\displaystyle{ \dfrac {r-1}{r}\cdot \dfrac {1}{1- \frac {1}{r}}=1}$ , όπως πριν.

To ερώτημα για παράσταση του αθροίσματος σε βάση και λοιπά είναι τώρα τετριμμένο.

Εγκυκλοπαιδικά δίνεται, ότι το ζητούμενο άθροισμα είναι μια τηλεσκοπική σειρά και δεν αναμένεται ότι η πληροφορία αυτή θα συνεισφέρει στην επίλυση της άσκησης.

i. Θέτουμε, το αριθμητικό σύμβολο

του συστήματος αρίθμησης με βάση

έτσι, ώστε (m)_r = r-1

.
Με εφαρμογή του τύπου (δίχως να ληφθεί υπόψιν το πλήθος των ψηφίων του αριθμού που πρόκειται να αναπαρασταθεί) που εμφανίζεται στην εισαγωγή
«σύστημα αρίθμησης με βάση

» που είναι εκτός ύλης, καθώς αποτελεί επέκταση των εννοιών που πραγματεύεται το Κεφάλαιο 1: Ψηφιακός Κόσμος που βρίσκεται στο σχολικό βιβλίο της Α΄-Β΄-Γ΄ Γυμνασίου και διδάσκεται στην Β΄ Γυμνασίου, συμπεραίνουμε ότι το άθροισμα αναπαρίσταται ως ένας περιοδικός αριθμός της μορφής $(0.\bar{m})_r$ .

ii.Θέτοντας $x = (0.\bar{m})_r$ , προκύπτει η εφαρμογή Α7.7 Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών από το σχολικό βιβλίο της Α΄ Γυμνασίου, όπου αντί για 9x = 9

έχουμε

.

Αναδεικνύοντας το γεγονός ότι:
$(0.\bar{1})_2 = (0.\bar{2})_3 = (0.\bar{3})_4 = \dots = (0.\bar{9})_{10} = \dots = (0.\bar{F})_{16} = \dots = 1$ .

Τηλεσκοπική Σειρά

Τηλεσκοπική Σειρά

Re: Τηλεσκοπική Σειρά

Re: Τηλεσκοπική Σειρά

Μέλη σε σύνδεση