Τηλεσκοπική Σειρά

Συντονιστής: ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ

Nikitas K.
Δημοσιεύσεις: 41
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 06, 2023 6:01 pm
Τοποθεσία: Ρόδος

Τηλεσκοπική Σειρά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nikitas K. » Παρ Απρ 12, 2024 4:10 pm

Έστω, r\in\mathbb{Z}^+-\{1\} και η (τηλεσκοπική) σειρά:

\displaystyle \sum_{i\in\matbb{Z}^+}\frac{r-1}{r^i} = \frac{r-1}{r} + \frac{r-1}{r^2}+\dots

i. Να αναπαραστήσετε τη σειρά ως ένα περιοδικό αριθμό στο σύστημα αρίθμησης με βάση r.
ii. Να βρεθεί η πεπερασμένη αναπαράσταση του αριθμού από το i. ερώτημα.
τελευταία επεξεργασία από Nikitas K. σε Σάβ Απρ 13, 2024 2:07 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Νικήτας Κακούλλης

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15811
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τηλεσκοπική Σειρά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Απρ 12, 2024 5:19 pm

Nikitas K. έγραψε:
Παρ Απρ 12, 2024 4:10 pm
Έστω, r\in\mathbb{Z}^+-\{1\} και η (τηλεσκοπική) σειρά:

\displaystyle \sum_{i\in\matbb{Z}^+}\frac{r-1}{r^i} = \frac{r-1}{r} + \frac{r-1}{r^2}+\dots

i. Να αναπαραστήσετε τη σειρά ως ένα περιοδικό αριθμό στο σύστημα αρίθμησης με βάση r.
ii. Να βρεθεί η πεπερασμένη αναπαράσταση του αριθμού από το i. ερώτημα.
Ας διευκρινίσω ότι οι σειρές δεν είναι στην ύλη της Α Γυμνασίου. Από εκεί και πέρα η άσκηση είναι απλή (και δεν χρειάζεται να την δούμε ως τηλεσκοπική).

i) Αν θέλουμε να την δούμε ως τηλεσκοπική τότε παρατηρούμε ότι ο γενικός όρος γράφεται \displaystyle{ \dfrac {1}{r^{i-1} }- \dfrac {1}{r^{i} }}. Συνεπώς ο κάθε δεύτερος προσθετέος απλοποιείται από τον πρώτο του επόμενου όρου. Θα μείνει μόνο 1 (αυτό είναι το ζητούμενο άθροισμα). Έγινε χρήση ορίου, συγκεκριμένα του \displaystyle{ \lim _{N \to \infty } \dfrac {1}{r^N} =0}, το οποίο είναι εκτός ύλης.

Αλλιώς, χωρίς τηλεσκοπικό, το άθροισμα είναι απλούστατα άπειρη γεωμετρική πρόοδος με λόγο 1/r. Το άθροισμά της κατά τα γνωστά είναι \displaystyle{ \dfrac {r-1}{r}\cdot \dfrac {1}{1- \frac {1}{r}}=1}, όπως πριν.

To ερώτημα για παράσταση του αθροίσματος σε βάση r και λοιπά είναι τώρα τετριμμένο.


Nikitas K.
Δημοσιεύσεις: 41
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 06, 2023 6:01 pm
Τοποθεσία: Ρόδος

Re: Τηλεσκοπική Σειρά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nikitas K. » Παρ Απρ 12, 2024 11:49 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Απρ 12, 2024 5:19 pm
Nikitas K. έγραψε:
Παρ Απρ 12, 2024 4:10 pm
Έστω, r\in\mathbb{Z}^+-\{1\} και η (τηλεσκοπική) σειρά:

\displaystyle \sum_{i\in\matbb{Z}^+}\frac{r-1}{r^i} = \frac{r-1}{r} + \frac{r-1}{r^2}+\dots

i. Να αναπαραστήσετε τη σειρά ως ένα περιοδικό αριθμό στο σύστημα αρίθμησης με βάση r.
ii. Να βρεθεί η πεπερασμένη αναπαράσταση του αριθμού από το i. ερώτημα.
Ας διευκρινίσω ότι οι σειρές δεν είναι στην ύλη της Α Γυμνασίου. Από εκεί και πέρα η άσκηση είναι απλή (και δεν χρειάζεται να την δούμε ως τηλεσκοπική).

i) Αν θέλουμε να την δούμε ως τηλεσκοπική τότε παρατηρούμε ότι ο γενικός όρος γράφεται \displaystyle{ \dfrac {1}{r^{i-1} }- \dfrac {1}{r^{i} }}. Συνεπώς ο κάθε δεύτερος προσθετέος απλοποιείται από τον πρώτο του επόμενου όρου. Θα μείνει μόνο 1 (αυτό είναι το ζητούμενο άθροισμα). Έγινε χρήση ορίου, συγκεκριμένα του \displaystyle{ \lim _{N \to \infty } \dfrac {1}{r^N} =0}, το οποίο είναι εκτός ύλης.

Αλλιώς, χωρίς τηλεσκοπικό, το άθροισμα είναι απλούστατα άπειρη γεωμετρική πρόοδος με λόγο 1/r. Το άθροισμά της κατά τα γνωστά είναι \displaystyle{ \dfrac {r-1}{r}\cdot \dfrac {1}{1- \frac {1}{r}}=1}, όπως πριν.

To ερώτημα για παράσταση του αθροίσματος σε βάση r και λοιπά είναι τώρα τετριμμένο.
Εγκυκλοπαιδικά δίνεται, ότι το ζητούμενο άθροισμα είναι μια τηλεσκοπική σειρά και δεν αναμένεται ότι η πληροφορία αυτή θα συνεισφέρει στην επίλυση της άσκησης.

i. Θέτουμε, το αριθμητικό σύμβολο m του συστήματος αρίθμησης με βάση r έτσι, ώστε (m)_r = r-1.
Με εφαρμογή του τύπου (δίχως να ληφθεί υπόψιν το πλήθος των ψηφίων του αριθμού που πρόκειται να αναπαρασταθεί) που εμφανίζεται στην εισαγωγή
«σύστημα αρίθμησης με βάση r» που είναι εκτός ύλης, καθώς αποτελεί επέκταση των εννοιών που πραγματεύεται το Κεφάλαιο 1: Ψηφιακός Κόσμος που βρίσκεται στο σχολικό βιβλίο της Α΄-Β΄-Γ΄ Γυμνασίου και διδάσκεται στην Β΄ Γυμνασίου, συμπεραίνουμε ότι το άθροισμα αναπαρίσταται ως ένας περιοδικός αριθμός της μορφής (0.\bar{m})_r.

ii.Θέτοντας x = (0.\bar{m})_r, προκύπτει η εφαρμογή Α7.7 Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών από το σχολικό βιβλίο της Α΄ Γυμνασίου, όπου αντί για 9x = 9 έχουμε (m)_r*x = (m)_r.

Αναδεικνύοντας το γεγονός ότι:
(0.\bar{1})_2 = (0.\bar{2})_3 = (0.\bar{3})_4 = \dots = (0.\bar{9})_{10} = \dots = (0.\bar{F})_{16} = \dots = 1.


Νικήτας Κακούλλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες