Τηλεσκοπική Σειρά

Nikitas K. · #1

Αν $r\in\mathbb{N}^*-\{1\}$ να αναπαρασταθεί η παρακάτω σειρά, ως περιοδικός αριθμός στο σύστημα αρίθμησης βάσης

και να υπολογιστεί.

$\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\frac{r-1}{r^i} = \frac{r-1}{r} + \frac{r-1}{r^2}+\dots$

#2

Nikitas K. έγραψε: ↑
Παρ Απρ 12, 2024 4:10 pm
Έστω, $r\in\mathbb{Z}^+-\{1\}$ και η (τηλεσκοπική) σειρά:

$\displaystyle \sum_{i\in\matbb{Z}^+}\frac{r-1}{r^i} = \frac{r-1}{r} + \frac{r-1}{r^2}+\dots$

i. Να αναπαραστήσετε τη σειρά ως ένα περιοδικό αριθμό στο σύστημα αρίθμησης με βάση .
ii. Να βρεθεί η πεπερασμένη αναπαράσταση του αριθμού από το ερώτημα.

Ας διευκρινίσω ότι οι σειρές δεν είναι στην ύλη της Α Γυμνασίου. Από εκεί και πέρα η άσκηση είναι απλή (και δεν χρειάζεται να την δούμε ως τηλεσκοπική).

i) Αν θέλουμε να την δούμε ως τηλεσκοπική τότε παρατηρούμε ότι ο γενικός όρος γράφεται $\displaystyle{ \dfrac {1}{r^{i-1} }- \dfrac {1}{r^{i} }}$ . Συνεπώς ο κάθε δεύτερος προσθετέος απλοποιείται από τον πρώτο του επόμενου όρου. Θα μείνει μόνο

(αυτό είναι το ζητούμενο άθροισμα). Έγινε χρήση ορίου, συγκεκριμένα του $\displaystyle{ \lim _{N \to \infty } \dfrac {1}{r^N} =0}$ , το οποίο είναι εκτός ύλης.

Αλλιώς, χωρίς τηλεσκοπικό, το άθροισμα είναι απλούστατα άπειρη γεωμετρική πρόοδος με λόγο 1/r

. Το άθροισμά της κατά τα γνωστά είναι $\displaystyle{ \dfrac {r-1}{r}\cdot \dfrac {1}{1- \frac {1}{r}}=1}$ , όπως πριν.

To ερώτημα για παράσταση του αθροίσματος σε βάση

και λοιπά είναι τώρα τετριμμένο.

Nikitas K. · #3

Εγκυκλοπαιδικά, έχει αναφερθεί ότι το ζητούμενο άθροισμα είναι σειρά.

Συμβολίζοντας με το γράμμα

, το μεγαλύτερο ψηφίο του αριθμητικού συστήματος βάσης $\color{blue} r$ , ισχύουν τα εξής:

$(M)_r = (10)_r - 1 ~\color{red} *$ και

$\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\frac{r-1}{r^i} = (r-1)\cdot \sum_{i=1}^{\infty} r^{-i} = \left[(10)_r-1\right]\cdot \sum_{i=1}^{\infty} (10)_r^{-i}$ $\color{blue}=$ $(M)_r \cdot (0.\bar 1)_r =$ ${\color{blue}(0.\bar M)_r}$ $= (0.\bar M)_r \cdot \dfrac{(M)_r}{(M)_r}$

$\displaystyle \overset{{\color{red}*}}=(0.\bar M)_r \cdot \dfrac{(10)_r-1}{(M)_r} = \dfrac{(M.\bar M)_r- (0.\bar M)_r}{(M)_r} = \dfrac{(M)_r+(0.\bar M)_r-(0.\bar M)_r}{(M)_r} = \dfrac{(M)_r}{(M)_r} =1$

mathematica.gr

Τηλεσκοπική Σειρά

Τηλεσκοπική Σειρά

Re: Τηλεσκοπική Σειρά

Re: Τηλεσκοπική Σειρά

Μέλη σε σύνδεση