Τρεις ανισότητες

[Mihalis_Lambrou]

.
Τρεις φυσικοί αριθμοί ικανοποιούν τις ανισότητες . Ποια είναι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή που μπορεί να έχει ο ;

(Aς την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας. Είναι αυτονόητο ότι ή άσκηση απευθύνεται σε ανθρώπους που επιθυμούν να σκέπτονται αυτόνομα. Οι λύσεις με ΑΙ απαγορεύονται.)

[Γιώργος Ρίζος]

Με διαδοχικά βήματα: Αφού , τότε η μεγαλύτερη τιμή του φυσικού είναι , οπότε η μεγαλύτερη τιμή του είναι , οπότε η μεγαλύτερη τιμή του είναι και του είναι . Η μεγαλύτερη τιμή του είναι .

Πιο φορμαλιστικά:





Ερώτηση: Η παρακάτω λύση έχει λάθος; Γιατί δίνει άλλο αποτέλεσμα σε σχέση με την παραπάνω;



(Δίχως να είναι εκτός φακέλου, θα επέλεγα το ωραίο αυτό θέμα και για μεγαλύτερη τάξη. Ανισότητες ξεκινάμε στη Γ΄ Γυμνασίου).

[Mihalis_Lambrou]

.

Ερώτηση: Η παρακάτω λύση έχει λάθος; Γιατί δίνει άλλο αποτέλεσμα σε σχέση με την παραπάνω;

.
Δεν είναι λάθος αλλά χάνει πληροφορία με τα διάφορα . Στην πρώτη λύση τα διάφορα αντιστρέφονται ενώ εδώ, όχι.
.

(Δίχως να είναι εκτός φακέλου, θα επέλεγα το ωραίο αυτό θέμα και για μεγαλύτερη τάξη. Ανισότητες ξεκινάμε στη Γ΄ Γυμνασίου).

.
Γιώργο, ευχαριστώ για την επισήμανση. Έχει δίκιο, και το λάθος δικό μου.

Θεώρησα ότι επειδή η άσκηση αφορά μόνο φυσικούς αριθμούς, των οποίων την διάταξη γνωρίζουν οι μαθητές από το Δημοτικό, έχουν τις γνώσεις να ανταπεξέλθουν.

[Γιώργος Ρίζος]

.

Ερώτηση: Η παρακάτω λύση έχει λάθος; Γιατί δίνει άλλο αποτέλεσμα σε σχέση με την παραπάνω;

.
Δεν είναι λάθος αλλά χάνει πληροφορία με τα διάφορα . Στην πρώτη λύση τα διάφορα αντιστρέφονται ενώ εδώ, όχι.
.


Μιχάλη καλησπέρα. Μάλλον δεν διατύπωσα σωστά την ερώτηση που έκανα παραπάνω. Δεν έχω καμία σχετική απορία.
Το έθεσα ώς "ερώτηση εργασίας". Πώς γίνεται δύο (φαινομενικά) σωστές τεχνικές να δίνουν διαφορετικό αποτέλεσμα.
Πιο συγκεκριμένα, ρωτώ "γιατί η 2η τεχνική δεν δίνει σωστό αποτέλεσμα;"

Αναφέρομαι στο γνωστό, και απολύτως απαραίτητο στη διδασκαλία, πρόβλημα της επαλήθευσης της ύπαρξης ακροτάτου.

Προσθέτοντας σωστά ανισότητες οδηγούμαστε σε σωστή ανισότητα, η οποίο, όμως, όπως εδώ, δεν δίνει πάντοτε και το ακρότατο.
Ακριβώς, όπως λες παραπάνω , επειδή δεν είναι ισοδύναμα τα βήματα της επίλυσης (απαγορεύεται η ισοδυναμία).

Το πρόβλημα είναι πιο έντονο όταν οι ανισότητες περιέχουν και "ίσον".

Παλαιότερα, είχαμε πολύ ωραίες σχετικές συζητήσεις στο ειδικά σε ακρότατα με μιγαδικούς.

[george visvikis]

Με διαδοχικά βήματα: Αφού , τότε η μεγαλύτερη τιμή του φυσικού είναι , οπότε η μεγαλύτερη τιμή του είναι , οπότε η μεγαλύτερη τιμή του είναι και του είναι . Η μεγαλύτερη τιμή του είναι .

Πιο φορμαλιστικά:





Ερώτηση: Η παρακάτω λύση έχει λάθος; Γιατί δίνει άλλο αποτέλεσμα σε σχέση με την παραπάνω;



(Δίχως να είναι εκτός φακέλου, θα επέλεγα το ωραίο αυτό θέμα και για μεγαλύτερη τάξη. Ανισότητες ξεκινάμε στη Γ΄ Γυμνασίου).

Καλημέρα σε όλους και Χρόνια Πολλά!

Το σωστό είναι

Στη δεύτερη περίπτωση μέχρι εδώ όλα είναι σωστά.

Όταν όμως επιχειρούμε να δώσουμε ακέραιες τιμές οι συντελεστές των δίνουν επιπλέον
στο άθροισμα, που πρέπει να αφαιρεθεί από το τελικό αποτέλεσμα. Δεν ξέρω αν το διατυπώνω κατανοητά.

[Γιώργος Ρίζος]

Το σωστό είναι

Στη δεύτερη περίπτωση μέχρι εδώ όλα είναι σωστά.

Όταν όμως επιχειρούμε να δώσουμε ακέραιες τιμές οι συντελεστές των δίνουν επιπλέον αριθμούς στο άθροισμα, που πρέπει να αφαιρεθούν από το τελικό αποτέλεσμα. Δεν ξέρω αν το διατυπώνω κατανοητά.

Γιώργο, σωστά και κατανοητά. Να δώσω μια επιπλέον εξήγηση για τους μαθητές μας.

Η κεντρική ιδέα του ερωτήματος, όπως το εξηγώ και παραπάνω (#4) είναι ότι όταν κάνουμε (σωστές) πράξεις με ανισότητες, προκύπτει, πάντα, ένα σωστό άνω η κάτω φράγμα, που, όμως δεν είναι πάντα και ακρότατο. Αν βρούμε και τιμές των μεταβλητών που το επαληθεύουν, τότε έχουμε ακρότατο.


Στο σύνδεσμο ΕΔΩ μια σχετική συζήτηση από το 2009 με ένα αρχείο του αξέχαστου φίλου Λεωνίδα Θαρραλίδη, που μάς άφησε πολύ νωρίς. Οι μιγαδικοί δεν είναι στην τωρινή ύλη, αλλά το άρθρο έχει στοιχεία χρήσιμα, διαχρονικά.