ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 9

#1

Θεωρούμε έναν διψήφιο αριθμό και τον επαναλαμβάνουμε τρεις φορές έτσι ώστε να προκύψει ένας εξαψήφιος αριθμός.
Να δείξετε ότι ο εξαψήφιος αυτός αριθμός διαιρείται με το

BAGGP93 · #2

Καλησπέρα.Μια προσπάθεια στο όμορφο αυτό θέμα.

Έστω $\displaystyle{x=ab}$ όπου οι φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{a,b}$ είναι τα ψηφία του αριθμού $\displaystyle{x}$ .

Αν επαναλάβουμε τον αριθμό αυτό τρεις φορές, προκύπτει ο εξαψήφιος αριθμός

$\displaystyle{y=ababab}$

Τότε έχουμε ότι

$\displaystyle{y=b\cdot 10^{0}+a\cdot 10^{1}+b\cdot 10^{2}+a\cdot 10^{3}+b\cdot 10^{4}+a\cdot 10^{5}=}$

$\displaystyle{ =b+10a+100b+1000a+10000b+100000a}$

$\displaystyle{=101010a+10101b}$

$\displaystyle{=7\cdot\left(14430a+1443b\right))}$

και άρα ο αριθμός $\displaystyle{y}$ διαιρείται με το $\displaystyle{7}$

christodoulos703 · #3

Βγαίνει πολύ εύκολα και από το κριτήριο διαιρετοτητας του 7.

#4

christodoulos703 έγραψε:Βγαίνει πολύ εύκολα και από το κριτήριο διαιρετοτητας του 7.

Ποιο είναι το κριτήριο διαιρετότητας με το 7;

#5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Θεωρούμε έναν διψήφιο αριθμό και τον επαναλαμβάνουμε τρεις φορές έτσι ώστε να προκύψει ένας εξαψήφιος αριθμός.
Να δείξετε ότι ο εξαψήφιος αυτός αριθμός διαιρείται με το

Ας την συνεχίσουμε:

Ο εξαψήφιος ababab

διαιρείται με καθέναν από τους $3, \, 7, \, 13, \, 37$ .

Επίσης οι τέσσερις αυτοί (και τα μεταξύ τους γινόμενα) είναι οι μόνοι φυσικοί

που διαιρούν όλους τους εξαψήφιους της μορφής abababa

.

christodoulos703 · #6

Ποιο είναι το κριτήριο διαιρετότητας με το 7;

Αν χωρίσουμε έναν οποιοδήποτε αριθμό σε τριψήφιους από δεξιά προς τα αριστερά και τους προσθέσεις και αφαιρέσεις εναλλάξ τότε εάν ο αριθμός που προκύπτει είναι πολ/σιο του 7 τότε ο αρχικός αριθμός διαιρείται από το 7.Παραδείγματος χάριν,ο 319347 είναι πολ/σιο του 7 αφού 347-319=28 το οποίο είναι πολ/σιο του 7.

#7

christodoulos703 έγραψε:Ποιο είναι το κριτήριο διαιρετότητας με το 7;

Αν χωρίσουμε έναν οποιοδήποτε αριθμό σε τριψήφιους από δεξιά προς τα αριστερά και τους προσθέσεις και αφαιρέσεις εναλλάξ τότε εάν ο αριθμός που προκύπτει είναι πολ/σιο του 7 τότε ο αρχικός αριθμός διαιρείται από το 7.Παραδείγματος χάριν,ο 319347 είναι πολ/σιο του 7 αφού 347-319=28 το οποίο είναι πολ/σιο του 7.

Φαντάζομαι η ερώτηση του Αχιλλέα είναι, κατά βάθος, για να επισημάνει ότι δεν υπάρχει ένα κριτήριο διαιρετότητας με το

ώστε να δικαιολογείται η φράση "το κριτήριο ... "

Βλέπε π.χ. την πέμπτη γραμμή από το τέλος στο ποστ μου εδώ. Επίσης εδώ και τις εκεί παραπομπές.

#8

Mihalis_Lambrou έγραψε:
christodoulos703 έγραψε:Ποιο είναι το κριτήριο διαιρετότητας με το 7;

Αν χωρίσουμε έναν οποιοδήποτε αριθμό σε τριψήφιους από δεξιά προς τα αριστερά και τους προσθέσεις και αφαιρέσεις εναλλάξ τότε εάν ο αριθμός που προκύπτει είναι πολ/σιο του 7 τότε ο αρχικός αριθμός διαιρείται από το 7.Παραδείγματος χάριν,ο 319347 είναι πολ/σιο του 7 αφού 347-319=28 το οποίο είναι πολ/σιο του 7.
Φαντάζομαι η ερώτηση του Αχιλλέα είναι, κατά βάθος, για να επισημάνει ότι δεν υπάρχει ένα κριτήριο διαιρετότητας με το ώστε να δικαιολογείται η φράση "το κριτήριο ... "

Βλέπε π.χ. την πέμπτη γραμμή από το τέλος στο ποστ μου εδώ. Επίσης εδώ και τις εκεί παραπομπές.

Πράγματι!

Επίσης, ένα τέτοιο κριτήριο δεν είναι ευρέως γνωστό και η χρήση του - σε γραπτές εξετάσεις - θα πρέπει να συνοδεύεται με απόδειξη.

Ακόμη, θα ήθελα να επισημάνω για ακόμη μια φορά ότι πρέπει να δίνονται πλήρεις λύσεις στις ασκήσεις.

Οι απαντήσεις του τύπου "βγαίνει κι έτσι...", ως επί το πλείστον δεν είναι ικανοποιητικές, πόσο μάλλον όταν βρίσκονται σε φάκελο Α' γυμνασίου.

Φιλικά,

Αχιλλέας

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 9

Re: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 9

Re: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 9

Re: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 9

Re: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 9

Re: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 9

Re: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 9

Re: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 9

Μέλη σε σύνδεση