Κατάλοιπο ενός φυσικού αριθμού ονομάζεται το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το
.Το κατάλοιπο ισούται με το άθροισμα των ψηφίων του, αν αυτό είναι μονοψήφιος αριθμός.
Αν όχι προστίθενται τα ψηφία του αθροίσματος κ.ο.κ. μέχρις ότου να προκύψει μονοψήφιος αριθμός.
Πρόταση
Αν α, β δύο φυσικοί αριθμοί με κατάλοιπα
αντίστοιχα και 
το άθροισμα, η διαφορά και το γινόμενο αυτών με κατάλοιπα 
αντίστοιχα τότε:1. Το κατάλοιπο των
είναι ίσο με το 
, δηλαδή το κατάλοιπο του αθροίσματος 
.2. Το κατάλοιπο των
είναι ίσο με το 
, δηλαδή το κατάλοιπο της διαφοράς 
.3. Το κατάλοιπο των
είναι ίσο με το 
, δηλαδή το κατάλοιπο του γινομένου 
).Παρατήρηση 1η
Αν
, τότε δεν γίνεται η αφαίρεση 
. Σ’ αυτή την περίπτωση προσθέτουμε στο 
το και μετά κάνουμε την αφαίρεση.Παρατήρηση 2η
Οι διαιρέσεις γράφονται με τους ισοδύναμους πολλαπλασιασμούς και εκεί γίνεται η δοκιμή.
Παραδείγματα
Κατάλοιπα:
$\displaystyle{\begin{array}{l}
1.)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
6&{}&{3579}
\end{array}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
5& + &{482}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}& \to &{\begin{array}{*{20}{c}}
6\vline& 5\\
\hline
2\vline& 2
\end{array}}
\end{array}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
2&{}&{4061}
\end{array}\\
\\
2.)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
8&{}&{5327}
\end{array}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
3& - &{534\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{ \to \begin{array}{*{20}{c}}
8\vline& 3\\
\hline
5\vline& 5
\end{array}}
\end{array}}
\end{array}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
5&{}&{4793}
\end{array}\\
\\
3.)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
7&{}&{358}
\end{array}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
6&*&{78\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{ \to \begin{array}{*{20}{c}}
7\vline& 6\\
\hline
6\vline& 6
\end{array}}
\end{array}}
\end{array}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
6&{}&{27924}
\end{array}\\
\\
\begin{array}{*{20}{c}}
1& + &9
\end{array}
\begin{array}{*{20}{c}}
= &{10}
\end{array}\\
{}&{}
\begin{array}{*{20}{c}}
1&{}&{7345}
\end{array}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
6& - &{654}& \to
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{10}&\vline& 6\\
\hline
4&\vline& 4
\end{array}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
4&{}&{6691}
\end{array}
\end{array}
\end{array}
\\
4.)\\
\Delta = \delta *\pi + \upsilon
\end{array}\
\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{854 = 123*6 + 116}&{}&{}&{6*6 = 36}
\end{array}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
\downarrow &{}&{}& \downarrow &{}&{}&{}&{}&&{}&{3 + 6 = 9}
\end{array}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
8&{}&{6*6}&8&{}&{}&{}&{}&{9 + 8 = 17}
\end{array}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
- &{}&{}& \downarrow &{}&{}&{}&{}&{}&{}&{1 + 7 = 8}
\end{array}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
8&{}&{}&9&8
\end{array}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
- &{}&{}& \downarrow
\end{array}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
- &{}&{}&8
\end{array}
\end{array}$
Πηγή: Εκδοτικός οίκος Παπαδημητρόπουλου, Μαθηματικά Α’ Γυμνασίου Ν. Σωτηράκη – Ν. Μπιναρδόπουλου.