Εμβαδόν από εμβαδά

#1

Να βρεθεί το εμβαδόν της γαλάζιας περιοχής συναρτήσει των εμβαδών $p,\, q, \, r$
των σημειωμένων τριγώνων.

#2

Mihalis_Lambrou έγραψε:Να βρεθεί το εμβαδόν της γαλάζιας περιοχής συναρτήσει των εμβαδών $p,\, q, \, r$
των σημειωμένων τριγώνων.

Μιχάλη καλησπέρα και χρόνια πολλά από Γρεβενά.
Δίνω μια λύση, δεν ξέρω αν υπάρχει και καμμιά απλούστερη για
την πρώτη Γυμνασίου που αναφέρεις.

Αναφέρομαι στο ακόλουθο σχήμα:

: Εμβαδόν από Εμβαδά 1.PNG (20.92 KiB) Προβλήθηκε 1470 φορές

Κατά τα γνωστά ισχύει:

$\displaystyle{\frac{x}{p}=\frac{y+r}{q}=\frac{AD}{DB} \ \ (1)}$

$\displaystyle{\frac{y}{r}=\frac{p+x}{q}=\frac{AE}{EC} \ \ (2)}$

Από τις (1) και (2) προκύπτει το γραμμικό σύστημα με αγνώστους τα $\displaystyle{x,y}$ :

$\displaystyle{qx-py=pr, \ \ rx-qy=-pr \ \ (3)}$

Λύνοντας το σύστημα αυτό έχουμε:

$\displaystyle{x=\frac{pqr+p^2r}{q^2-pr}, \ \ y=\frac{pqr+pr^2}{q^2-pr}}$

Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

$\displaystyle{E(ADOE)=\frac{pr(2q+p+r)}{q^2-pr)}$

Παρατήρηση:
Ο παρονομαστής του αποτελέσματος είναι πάντα θετικός. Θα το γράψω σε επόμενο μήνυμά μου.

Κώστας Δόρτσιος

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε:Να βρεθεί το εμβαδόν της γαλάζιας περιοχής συναρτήσει των εμβαδών $p,\, q, \, r$
των σημειωμένων τριγώνων.

Είναι

: Εμβαδόν απο εμβαδά.png (31.63 KiB) Προβλήθηκε 1462 φορές

$\left\{ \begin{gathered} \frac{X}{{Y + r}} = \frac{p}{q} \hfill \\ \frac{Y}{{X + p}} = \frac{r}{q} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{X + Y = \frac{{pr(p + 2q + r)}}{{{q^2} - pr}}}$

Επί πλέον :

$\boxed{(ZHD) = \frac{{pr}}{q} < q}$

Ακριβώς τα ίδια με τον αγαπητό Κώστα αλλά είχα και έχω αμφιβολία αν είναι εντός φακέλου η λύση .

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε:Να βρεθεί το εμβαδόν της γαλάζιας περιοχής συναρτήσει των εμβαδών $p,\, q, \, r$
των σημειωμένων τριγώνων.

KDORTSI έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:Να βρεθεί το εμβαδόν της γαλάζιας περιοχής συναρτήσει των εμβαδών $p,\, q, \, r$
των σημειωμένων τριγώνων.
.............................................
Παρατήρηση:
Ο παρονομαστής του αποτελέσματος είναι πάντα θετικός. Θα το γράψω σε επόμενο μήνυμά μου.

Κώστας Δόρτσιος

Καλημέρα και καλή εβδομάδα!

Αναφερόμαστε στο ακόλουθο σχήμα και θα δείξουμε ότι αν $\displaystyle{O}$ τυχαίο σημείο εντος
του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ τότε θα είναι:

$\displaystyle{q^2>pr \ \ (1) }$

: Εμβαδόν από Εμβαδά 2.PNG (20.83 KiB) Προβλήθηκε 1434 φορές

Η (1) ισοδυναμεί:

$\displaystyle{\frac{q}{p}>\frac{r}{q} \Rightarrow \frac{OC}{OD}>\frac{OE}{OB} \Rightarrow}$

$\displaystyle{\Rightarrow (OC)(OB)>(OE)(OD) \Rightarrow E(BOC)>E(ODE) \Rightarrow }$

$\displaystyle{\Rightarrow E(BOC)+p>E(ODE)+p \Rightarrow E(BCD)>E(BDE) \ \ (2)}$

Η (2) όμως αληθεύει γιατί η $\displaystyle{CE}$ δεν είναι παράλληλη προς την $\displaystyle{AB}$
κι έτσι λόγω του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ , η απόσταση της κορυφής $\displaystyle{C}$ από της $\displaystyle{AB}$ είναι
μεγαλύτερη της απόστασης της κορυφής $\displaystyle{E}$ από την $\displaystyle{AB}$ .

Κώστας Δόρτσιος

Εμβαδόν από εμβαδά

Εμβαδόν από εμβαδά

Re: Εμβαδόν από εμβαδά

Re: Εμβαδόν από εμβαδά

Re: Εμβαδόν από εμβαδά

Μέλη σε σύνδεση