Εμβαδόν από εμβαδά

Συντονιστής: ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Εμβαδόν από εμβαδά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Απρ 09, 2017 8:58 pm

Να βρεθεί το εμβαδόν της γαλάζιας περιοχής συναρτήσει των εμβαδών p,\, q, \, r
των σημειωμένων τριγώνων.
Συνημμένα
Emvadon pqr.png
Emvadon pqr.png (5.84 KiB) Προβλήθηκε 990 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1751
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Εμβαδόν από εμβαδά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Δευ Απρ 10, 2017 12:03 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:Να βρεθεί το εμβαδόν της γαλάζιας περιοχής συναρτήσει των εμβαδών p,\, q, \, r
των σημειωμένων τριγώνων.
Μιχάλη καλησπέρα και χρόνια πολλά από Γρεβενά.
Δίνω μια λύση, δεν ξέρω αν υπάρχει και καμμιά απλούστερη για
την πρώτη Γυμνασίου που αναφέρεις.

Αναφέρομαι στο ακόλουθο σχήμα:
Εμβαδόν από Εμβαδά 1.PNG
Εμβαδόν από Εμβαδά 1.PNG (20.92 KiB) Προβλήθηκε 922 φορές
Κατά τα γνωστά ισχύει:

\displaystyle{\frac{x}{p}=\frac{y+r}{q}=\frac{AD}{DB} \  \ (1)}

\displaystyle{\frac{y}{r}=\frac{p+x}{q}=\frac{AE}{EC} \  \ (2)}

Από τις (1) και (2) προκύπτει το γραμμικό σύστημα με αγνώστους τα \displaystyle{x,y}:

\displaystyle{qx-py=pr, \  \ rx-qy=-pr \  \ (3)}

Λύνοντας το σύστημα αυτό έχουμε:

\displaystyle{x=\frac{pqr+p^2r}{q^2-pr}, \  \ y=\frac{pqr+pr^2}{q^2-pr}}

Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

\displaystyle{E(ADOE)=\frac{pr(2q+p+r)}{q^2-pr)}

Παρατήρηση:
Ο παρονομαστής του αποτελέσματος είναι πάντα θετικός. Θα το γράψω σε επόμενο μήνυμά μου.

Κώστας Δόρτσιος


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5953
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδόν από εμβαδά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Απρ 10, 2017 12:15 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:Να βρεθεί το εμβαδόν της γαλάζιας περιοχής συναρτήσει των εμβαδών p,\, q, \, r
των σημειωμένων τριγώνων.
Είναι
Εμβαδόν απο εμβαδά.png
Εμβαδόν απο εμβαδά.png (31.63 KiB) Προβλήθηκε 914 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{X}{{Y + r}} = \frac{p}{q} \hfill \\ 
  \frac{Y}{{X + p}} = \frac{r}{q} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{X + Y = \frac{{pr(p + 2q + r)}}{{{q^2} - pr}}}

Επί πλέον :


\boxed{(ZHD) = \frac{{pr}}{q} < q}


Ακριβώς τα ίδια με τον αγαπητό Κώστα αλλά είχα και έχω αμφιβολία αν είναι εντός φακέλου η λύση .


KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1751
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Εμβαδόν από εμβαδά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Δευ Απρ 10, 2017 7:44 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:Να βρεθεί το εμβαδόν της γαλάζιας περιοχής συναρτήσει των εμβαδών p,\, q, \, r
των σημειωμένων τριγώνων.
KDORTSI έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:Να βρεθεί το εμβαδόν της γαλάζιας περιοχής συναρτήσει των εμβαδών p,\, q, \, r
των σημειωμένων τριγώνων.
.............................................
Παρατήρηση:
Ο παρονομαστής του αποτελέσματος είναι πάντα θετικός. Θα το γράψω σε επόμενο μήνυμά μου.

Κώστας Δόρτσιος
Καλημέρα και καλή εβδομάδα!

Αναφερόμαστε στο ακόλουθο σχήμα και θα δείξουμε ότι αν \displaystyle{O} τυχαίο σημείο εντος
του τριγώνου \displaystyle{ABC} τότε θα είναι:

\displaystyle{q^2>pr \  \ (1) }
Εμβαδόν από Εμβαδά 2.PNG
Εμβαδόν από Εμβαδά 2.PNG (20.83 KiB) Προβλήθηκε 886 φορές
Η (1) ισοδυναμεί:

\displaystyle{\frac{q}{p}>\frac{r}{q} \Rightarrow \frac{OC}{OD}>\frac{OE}{OB} \Rightarrow}

\displaystyle{\Rightarrow (OC)(OB)>(OE)(OD) \Rightarrow E(BOC)>E(ODE) \Rightarrow }

\displaystyle{\Rightarrow E(BOC)+p>E(ODE)+p \Rightarrow E(BCD)>E(BDE) \  \ (2)}

Η (2) όμως αληθεύει γιατί η \displaystyle{CE} δεν είναι παράλληλη προς την \displaystyle{AB}
κι έτσι λόγω του τριγώνου \displaystyle{ABC}, η απόσταση της κορυφής \displaystyle{C} από της \displaystyle{AB} είναι
μεγαλύτερη της απόστασης της κορυφής \displaystyle{E} από την \displaystyle{AB}.

Κώστας Δόρτσιος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης