Φυσικός n

Συντονιστής: ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ

Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Φυσικός n

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τρί Ιουν 13, 2017 4:16 pm

Να υπολογίσετε το φυσικό αριθμό n, για τον οποίο ισχύει:

3^{n-1}=-3^{2006}-4(-9)^{1003}

Για μαθητές μέχρι αύριο. (Άσκηση του 2008)
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Τετ Ιουν 14, 2017 2:54 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Φυσικός n

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τετ Ιουν 14, 2017 2:30 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Να υπολογίσετε το φυσικό αριθμό n, για τον οποίο ισχύει:

3^{n-1}=-3^{2006}-4(-9)^{1003}

Για μαθητές μέχρι αύριο. (Άσκηση του 2008)
Επαναφορά!
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Τετ Ιουν 14, 2017 2:54 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
nikos_el
Δημοσιεύσεις: 109
Εγγραφή: Παρ Ιαν 02, 2015 5:00 pm

Re: Φυσικός n

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikos_el » Τετ Ιουν 14, 2017 2:38 pm

n=2008


The road to success is always under construction
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Φυσικός n

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τετ Ιουν 14, 2017 2:54 pm

nikos_el έγραψε:n=2008
Σωστά συνονόματε! :lol:


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Φυσικός n

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τετ Ιουν 14, 2017 3:09 pm

Θα γράψω αναλυτική λύση:

3^{n-1}=-3^{2006}-4(-9)^{1003} \Rightarrow 3^{n-1}=4\cdot 3^{2006}-3^{2006}\Rightarrow 3^{n-1}=3^{2007} \Rightarrow n-1=2007 \Rightarrow \boxed{n=2008}


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1317
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Φυσικός n

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Ιουν 14, 2017 5:39 pm

Η σημασία της λεπτομέρειας.

Στον φετινό Αρχιμήδη έγραψα όλα τα θέματα. Ημουν σίγουρος ότι θα πάρω 20!

Βγήκαν τα αποτελέσματα και πήρα 19. Τάχασα, θύμωσα και είπα θα πάω κάτω στην Ε.Μ.Ε και θα γίνει χαμός.
Περίμενα πρώτα να βγούν οι επίσημες απαντήσεις και μόλις τις είδα κατάλαβα τι είχα
ξεχάσει να θέσω. Τι ήταν αυτό ; Eίχα ξεχάσει να γράψω '' επειδή a>0 ... ''
και για αυτό έχασα μία μονάδα !!

Μου είπε ο πατέρας μου ότι καλά έκαναν και σου έκοψαν την μονάδα, γιατί στα
Μαθηματικά τα ΠΑΝΤΑ εξηγούνται ΤΙΠΟΤΑ δεν εννοείται και ΠΑΝΤΑ '' πατάμε '' πάνω
στα θεωρήματα.

Γιατί τα γράφω όλα αυτά ;

Κοιτάξτε την λύση του Νικόλα. Πιστεύει ότι την έλυσε σωστά, αυτό γράφει και το βιβλίο
από όπου πήρε την άσκηση και αγνοεί την λεπτομέρεια ... που θα του πάρει το '' κεφάλι ''
όπως το πήρε και σε μένα.

Γράφει λοιπόν :
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:\Rightarrow 3^{n-1}=3^{2007} \Rightarrow n-1=2007
Θα παρακαλούσα τους Μαθηματικούς του mathematica να μας πουν που είναι το λάθος
και τι βαθμό θα έβαζαν στον Νικόλα αν η άσκηση από τον θεματοδότη είχε 10 μόρια.
Έτσι για να ξέρουμε πόσο μας κοστίζει όταν παραλείπουμε να εξηγήσουμε αναλυτικά !


Υ.Γ. Η άσκηση για να λυθεί πλήρως χρειάζεται ύλη Β’ Λυκείου. Ο Νικόλας μη γνωρίζοντας τις απατήσεις που έχει την έβαλε στην Α’ Γυμνασίου.

Δεν πρέπει όμως να δεχόμαστε ημιτελής λύσεις γιατί έτσι αφήνουμε τις λεπτομέρειες και συνηθίζουμε να μην είμαστε αυστηροί στις αποδείξεις μας.
Νικόλα όταν διαβάσεις την ύλη της Β’ Λυκείου θα καταλάβεις.

Προς το παρών σημείωσε το για να το δείς στο μέλλον.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Φυσικός n

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τετ Ιουν 14, 2017 9:20 pm

Ορέστη, σε ευχαριστώ για τη διευκρίνιση.

Μπορείς να μού πεις όμως τι θα πρέπει να δικαιολογώ στη Β' Λυκείου με βάση αυτό το θέμα; :cursing:


Άβαταρ μέλους
nikos_el
Δημοσιεύσεις: 109
Εγγραφή: Παρ Ιαν 02, 2015 5:00 pm

Re: Φυσικός n

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikos_el » Τετ Ιουν 14, 2017 10:18 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Ορέστη, σε ευχαριστώ για τη διευκρίνιση.

Μπορείς να μού πεις όμως τι θα πρέπει να δικαιολογώ στη Β' Λυκείου με βάση αυτό το θέμα; :cursing:
Αν καταλαβαίνω καλά, ο Ορέστης εννοεί ότι θα έπρεπε να πεις: "Η συνάρτηση \displaystyle f(x)=3^x, είναι γνησίως αύξουσα, οπότε και 1-1, αφού είναι εκθετική με βάση 3>1. Επομένως έχει μοναδική ρίζα". Αν όντως εννοεί αυτό , έχω την εντύπωση ότι δεν είναι απραίτητο να το αναφέρουμε, αφού λύνουμε εξίσωση και όχι ανίσωση.


The road to success is always under construction
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 225
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Φυσικός n

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Πέμ Ιουν 15, 2017 1:42 am

Στην εξίσωση χρείαζεται να αναφέρουμε ότι είναι η εκθετική συνάρτηση 1-1. Σε επίπεδο πανελληνίων χρειάζεται σίγουρα η αναφορά του. Σε επίπεδο μαθηματικών διαγωνισμών δεν γνωρίζω( έχω την εντύπωση πως όχι). Πολύ καλό σχόλιο του Ορέστη πάντως. Μήπως υπάρχει κάποιος που γνωρίζει?


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2002
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Φυσικός n

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιουν 15, 2017 2:02 am

Πραγματικά δεν καταλαβαίνω.
Αυτά τα πράγματα σκοτώνουν τα Μαθηματικά.
Δεν είναι Μαθηματικά είναι τυπολατρία.
Δηλαδή παίρνουμε κάποια θεωρήματα χωρίς απόδειξη τα λέμε στους μαθητές και μετά
τους ζητάμε να τα εφαρμόσουν αφού ελέγξουν τις προυποθέσεις.
Και φτάνουμε στο σημείο να ξέρει ο μαθητής Bolzano-Rolle -ΘΜΤ
Fermat(κανένα σοβαρό ξένο βιβλίο Ανάλυσης δεν το αναφέρει έτσι)
και να μην ξέρει τι είναι ακέραιο μέρος ,γιατί μεταξύ πραγματικών υπάρχει ρητός κλπ.
Οσο για το συγκεκριμένο είναι πολύ πιο προφανές ότι η 3^{x} είναι γνησίως αύξουσα από
το ότι το 3^{\sqrt{2}} είναι αριθμός.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4125
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Φυσικός n

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Ιουν 15, 2017 8:21 am

Καλημέρα σας.

Άλλο πράγμα το να ξεχάσει κανείς έναν περιορισμό μεταβλητής a > 0, που μπορεί να οδηγεί σε άλλη περίπτωση, και άλλο πράγμα να "ξεχάσεις" να δηλώσεις: "3 > 1 άρα η συνάρτηση 3^x αύξουσα δηλαδή 1-1 κ.λπ." . ΔΕΝ βλέπω κάποιο κενό εδώ. ΔΕΝ γνωρίζω από βαθμολόγηση διαγωνισμών, πάντως αδυνατώ να πιστέψω ότι σε μαθηματικό διαγωνισμό χρειάζεται να αναφερθεί κάτι τέτοιο.

Βεβαίως αν ήταν a^x=a^5 θα έπρεπε να διερευνηθούν οι δυνατές τιμές του a, αλλά το 3>1 θεωρείται δεδομένο, δίχως ιδιαίτερη αναφορά!

Το μόνο μεμπτό που βλέπω είναι η χρήση συνεπαγωγής κι όχι ισοδυναμίας, που είναι απαραίτητη σε επίλυση εξισώσεων. Το "γιατί" είναι κάτι ΠΟΥ ΠΡΕΠΕΙ όλοι οι μαθητές (που θέλουν να κάνουν μαθηματικά) να αναζητήσουν πρωταρχικά.


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Φυσικός n

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Πέμ Ιουν 15, 2017 11:40 am

nikos_el έγραψε: Αν καταλαβαίνω καλά, ο Ορέστης εννοεί ότι θα έπρεπε να πεις: "Η συνάρτηση \displaystyle f(x)=3^x, είναι γνησίως αύξουσα, οπότε και 1-1, αφού είναι εκθετική με βάση 3>1. Επομένως έχει μοναδική ρίζα". Αν όντως εννοεί αυτό , έχω την εντύπωση ότι δεν είναι απραίτητο να το αναφέρουμε, αφού λύνουμε εξίσωση και όχι ανίσωση.
Νίκο, δεν ξέρω ακόμα συναρτήσεις! :geek:


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4193
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Φυσικός n

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Ιούλ 06, 2017 8:17 am

Ορέστη, καλημέρα. Αρχικά να σου δώσω συγχαρητήρια για το 19 που πήρες στον "Αρχιμήδη" που στην ουσία είναι 20 , αφού δεν υπήρχε λάθος ή άγνοια αλλά μια απλή αλλά ουσιαστική παράληψη . Τώρα για την άσκηση που αναφέρεις η οποία καταλήγει στο \displaystyle{3^{n-1}=3^{2007}}, πιστεύω ότι απ ευθείας θα πρέπει να πούμε ότι \displaystyle{n-1=2007}, χωρίς καμιά άλλη εξήγηση αν μας τεθεί παρόμοια άσκηση σε επίπεδο Β Λυκείου. Αν όμως (όπως έγραψε και ο Γιώργος Ρίζος πιο πάνω) ήταν π.χ \displaystyle{a^{n-1}=a^{2007}}, τότε τα πράγματα αλλάζουν και απαιτείται να δούμε τι αριθμός είναι ο a.
Τώρα, για Α Γυμνασίου, πράγματι η άσκηση δεν είναι κατάλληλη, εκτός αν πρώτα τους έχουμε ενημερώσει (χωρίς απόδειξη) πότε
η εξίσωση \displaystyle{a^x =a^y} είναι ισοδύναμη με την \displaystyle{x=y} . (Στο Γυμνάσιο, διδάσκονται πολλά θεωρήματα που μπορούν να χρησιμοποιούν οι μαθητές, χωρίς όμως να δίνεται η απόδειξη των θεωρημάτων αυτών).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης