Ποιο το αρχικό κεφάλαιο ;

Tolaso J Kos · #1

Κάτοχος κεφαλαίου καταθέτει το κεφάλαιο αυτό σε μια τράπεζα προκειμένου να ανατοκιστεί με εξαμηνιαίο ανατοκισμό και εξαμηνιαίο επιτόκιο $2\%$ . Το κεφάλαιο αυτό δίνει μετά απο

χρόνια δίνει τελική αξία 180.185,98

. Ποιο ήταν το αρχικό κεφάλαιο ;

#2

Αχ Αποστόλη, μάς θύμισες τις εποχές που είχαμε να καταθέσουμε σε τράπεζα...

Γράφω μια απάντηση για να τονίσω την ανάγκη της γενίκευσης (χρήση τύπων) αντί της επαναλαμβανόμενης αριθμητικής πράξης. Νομίζω ότι τέτοια προβλήματα είναι κατάλληλα για μια γυμνασιακή τάξη.

Έστω

το αρχικό κεφάλαιο, το οποίο θα υποστεί (το καημένο) έξι ανατοκισμούς.

Στον πρώτο ανατοκισμό θα αποδόσει τόκο $\displaystyle 0,02K$ και θα γίνει $\displaystyle {K_1} = K + 0,02K = 1,02K$ .
Στο δεύτερο θα αποδόσει τόκο $\displaystyle 0,02{K_1} = 0,0204K$ και θα γίνει $\displaystyle {K_2} = 1,02K + 0,0204K = 1,0404K$ .

Βεβαίως θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε έτσι και για τους υπόλοιπους ανατοκισμούς. Τι θα κάναμε, όμως, αν έπρεπε να ανατοκίσουμε το κεφάλαιό μας εκατοντάδες φορές;

Η απάντηση είναι απλούστατη (για όποιον διδάσκεται και χρησιμοποιεί στοιχειώδη μαθηματικά)! Αναζητούμε κάποιον τύπο που θα μάς δίνει το αποτέλεσμα στη γενική περίπτωση.

Πράγματι, σε κάθε ανατοκισμό παίρνουμε ποσό ίσο με το $\displaystyle 1,02$ του κεφαλαίου που ανατοκίζουμε, άρα σε $\displaystyle \nu$ ανατοκισμούς θα πάρουμε $\displaystyle {{\rm K}_\nu } = {\left( {1,02} \right)^\nu }{\rm K}$ .

Οπότε $\displaystyle {{\rm K}_6} = {\left( {1,02} \right)^6}{\rm K} = {\rm{1}}{\rm{,126162419264}}{\rm K}$ .
Οπότε καταθέσαμε $\displaystyle {\rm K} = \frac{{180.185,98}}{{{\rm{1}}{\rm{,126162419264}}}} = 160000$ ευρώ (με μια λογιστική αμελητέα στρογγυλοποίηση) .

Ποιο το αρχικό κεφάλαιο ;

Ποιο το αρχικό κεφάλαιο ;

Re: Ποιο το αρχικό κεφάλαιο ;

Μέλη σε σύνδεση