τελευταίο ψηφίο

aggeliki260807 · #1

Ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο του αθροίσματος:
$1+9+9^{2}+9^{3}+9^{4}+...+9^{2008}+9^{2009}$

Από το καλοκαιρινό σχολείο είναι η άσκηση.ΜΟΥ ΆΡΕΣΕ ΑΛΛΆ ΔΕΝ ΕΊΧΕ ΑΠΆΝΤΗΣΗ

Filippos Athos · #2

aggeliki260807 έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 04, 2020 9:32 pm
Ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο του αθροίσματος:
$1+9+9^{2}+9^{3}+9^{4}+...+9^{2008}+9^{2009}$
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Λοιπόν αρχικά σκέφτηκα να χωρίσω την παράσταση ως εξής $1+\left ( 9+9^{^{2}} \right )+\left ( 9^{3}+9^{4} \right )+...+\left ( 9^{2007} +9^{2008}\right )+9^{2009}$
από την πρώτη παρένθεση έχουμε ότι το τελευταίο ψηφίο του $9^{1=}9$
του $9^{2}=81$
άρα είναι το 1.Από εδώ καταλήγουμε στον κανόνα ότι το 9 υψωμένο σε άρτιο εκθέτη μας βγάζει τελευταίο ψηφίο 1 ενώ με περιττό τελευταίο ψηφίο 9 συνεχίζοντας έτσι καταλήγουμε ότι το τελευταίο ψηφίο κάθε παρένθεσης είναι το 0 έχουμε στο τέλος την δύναμη $9^{2009}$
με τελευταίο ψηφίο το 9 άρα έχουμε έναν αριθμό $\overline{abcd0}+9+1$
προφανώς το τελευταίο ψηφίο θα είναι το 0
Από το καλοκαιρινό σχολειό είναι η άσκηση.ΜΟΥ ΆΡΕΣΕ ΑΛΛΆ ΔΕΝ ΕΊΧΕ ΑΠΆΝΤΗΣΗ

Τα $1,9,9^{2},9^{3},9^{4}$ έχουν τελευταίο ψηφίο 1,9,1,9,1

(περιοδικότητα) οπότε ζευγαρώνωντας το

με το

, το $9^{2}$ με το $9^{3}$ .......... $9^{2008}$ με το $9^{2009}$ παρατηρούμε ότι το άθροισμα των τελευταίων ψηφίων κάθε ζευγάριου( 1+9=10

) διαιρείται με το

άρα ολόκληρο διαιρείται με το

.Από το κριτήριο διαιραιτότητας η απάντηση

.

Με πιο "προχορημένες " γνώσεις κάνοντας mod 10

εχουμε $1+(-1)+(-1)^{2}+(-1)^{3}+....+(-1)^{2009}\equiv0mod10$

aggeliki260807 · #3

Ευχαριστώ πολύ ασχολείσαι και εσύ με τα μαθηματικά τι τάξη πας;

Filippos Athos · #4

aggeliki260807 έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 04, 2020 10:48 pm
Ευχαριστώ πολύ ασχολείσαι και εσύ με τα μαθηματικά τι τάξη πας;

Ναι,μόλις άρχισα την Γ'Γυμνασίου.

aggeliki260807 · #5

εγώ μόλις άρχισα την Β Γυμνασίου

Filippos Athos · #6

aggeliki260807 έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 04, 2020 9:32 pm
Ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο του αθροίσματος:
$1+9+9^{2}+9^{3}+9^{4}+...+9^{2008}+9^{2009}$
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Λοιπόν αρχικά σκέφτηκα να χωρίσω την παράσταση ως εξής $1+\left ( 9+9^{^{2}} \right )+\left ( 9^{3}+9^{4} \right )+...+\left ( 9^{2007} +9^{2008}\right )+9^{2009}$
από την πρώτη παρένθεση έχουμε ότι το τελευταίο ψηφίο του $9^{1=}9$
του $9^{2}=81$
άρα είναι το 1.Από εδώ καταλήγουμε στον κανόνα ότι το 9 υψωμένο σε άρτιο εκθέτη μας βγάζει τελευταίο ψηφίο 1 ενώ με περιττό τελευταίο ψηφίο 9 συνεχίζοντας έτσι καταλήγουμε ότι το τελευταίο ψηφίο κάθε παρένθεσης είναι το 0 έχουμε στο τέλος την δύναμη $9^{2009}$
με τελευταίο ψηφίο το 9 άρα έχουμε έναν αριθμό $\overline{abcd0}+9+1$
προφανώς το τελευταίο ψηφίο θα είναι το 0
Από το καλοκαιρινό σχολείο είναι η άσκηση.ΜΟΥ ΆΡΕΣΕ ΑΛΛΆ ΔΕΝ ΕΊΧΕ ΑΠΆΝΤΗΣΗ

Άλλη μια λύση εκτός φακέλου...

η παράσταση γράφεται ως $\frac{(9^{2010}-1)}{9-1}=\frac{(9^{2010}-1)}{8}$ και θέλουμε να αποδείξουμε ότι αυτό διαιρείται με το

ή ότι το $9^{2010}-1$ διαιρείται με το

που ισχύει καθώς $9^{2010}-1=(9^{2})^{1005}$ $-1=81^{1005}-1\equiv 1^{1005}-1\equiv 0mod80$

aggeliki260807 · #7

Filippos Athos έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 05, 2020 6:42 pm

aggeliki260807 έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 04, 2020 9:32 pm
Ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο του αθροίσματος:
$1+9+9^{2}+9^{3}+9^{4}+...+9^{2008}+9^{2009}$
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Λοιπόν αρχικά σκέφτηκα να χωρίσω την παράσταση ως εξής $1+\left ( 9+9^{^{2}} \right )+\left ( 9^{3}+9^{4} \right )+...+\left ( 9^{2007} +9^{2008}\right )+9^{2009}$
από την πρώτη παρένθεση έχουμε ότι το τελευταίο ψηφίο του $9^{1=}9$
του $9^{2}=81$
άρα είναι το 1.Από εδώ καταλήγουμε στον κανόνα ότι το 9 υψωμένο σε άρτιο εκθέτη μας βγάζει τελευταίο ψηφίο 1 ενώ με περιττό τελευταίο ψηφίο 9 συνεχίζοντας έτσι καταλήγουμε ότι το τελευταίο ψηφίο κάθε παρένθεσης είναι το 0 έχουμε στο τέλος την δύναμη $9^{2009}$
με τελευταίο ψηφίο το 9 άρα έχουμε έναν αριθμό $\overline{abcd0}+9+1$
προφανώς το τελευταίο ψηφίο θα είναι το 0
Από το καλοκαιρινό σχολείο είναι η άσκηση.ΜΟΥ ΆΡΕΣΕ ΑΛΛΆ ΔΕΝ ΕΊΧΕ ΑΠΆΝΤΗΣΗ
Άλλη μια λύση εκτός φακέλου...

η παράσταση γράφεται ως $\frac{(9^{2010}-1)}{9-1}=\frac{(9^{2010}-1)}{8}$ και θέλουμε να αποδείξουμε ότι αυτό διαιρείται με το
ή ότι το $9^{2010}-1$ διαιρείται με το που ισχύει καθώς $9^{2010}-1=9^{2^{1005}}-1=81^{1005}-1\equiv 1^{1005}-1\equiv 0mod80$

$81^{1005}-1=\left ( 80+1 \right )^{1005}-1=$
πολ 80+1-1=πολ 80

#8

Filippos Athos έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 05, 2020 6:42 pm
$9^{2010}-1=9^{2^{1005}}-1=81^{1005}-1$

Ορθότατη η λύση αλλά θα ήθελα να κάνω ένα σχόλιο για τον εσφαλμένο συμβολισμό:

Το $\displaystyle{ 9^{2^{1005}}}$ σημαίνει $\displaystyle{9^{(2^{1005})}}$ (πρόκειται περί σύμβασης), όμως αυτό που εννοείς και που χρησιμοποίησες είναι το $\displaystyle{(9^2)^{1005}}$ .

Με άλλα λόγια, η σωστή γραφή της λύσης είναι

$\displaystyle{ 9^{2010}-1=(9^2)^{1005}-1=81^{1005}-1...}$

Κατά τα άλλα

Filippos Athos · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 05, 2020 10:02 pm

Filippos Athos έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 05, 2020 6:42 pm
$9^{2010}-1=9^{2^{1005}}-1=81^{1005}-1$
Ορθότατη η λύση αλλά θα ήθελα να κάνω ένα σχόλιο για τον εσφαλμένο συμβολισμό:

Το $\displaystyle{ 9^{2^{1005}}}$ σημαίνει $\displaystyle{9^{(2^{1005})}}$ (πρόκειται περί σύμβασης), όμως αυτό που εννοείς και που χρησιμοποίησες είναι το $\displaystyle{(9^2)^{1005}}$ .

Με άλλα λόγια, η σωστή γραφή της λύσης είναι

$\displaystyle{ 9^{2010}-1=(9^2)^{1005}-1=81^{1005}-1...}$

Κατά τα άλλα

Έχεται δίκιο, το διόρθωσα.

#10

aggeliki260807 έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 04, 2020 9:32 pm
Ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο του αθροίσματος:
$1+9+9^{2}+9^{3}+9^{4}+...+9^{2008}+9^{2009}$

Ας δώσω και άλλη μία λύση, πιο απλή: To δοθέν άθροισμα γράφεται

$(1+9)+(9^{2}+9^{3})+(9^{4}+9^{5})+...+(9^{2008}+9^{2009})=(1+9)+9^{2}(1+9)+9^{4}(1+9)+...+9^{2008}(1+9)=$

$=10+9^{2}\cdot 10+9^{4}\cdot 10+...+9^{2008}\cdot 10= 10 \cdot (akeraios)$ , άρα λήγει σε

.

τελευταίο ψηφίο

τελευταίο ψηφίο

Re: τελευταίο ψηφίο

Re: τελευταίο ψηφίο

Re: τελευταίο ψηφίο

Re: τελευταίο ψηφίο

Re: τελευταίο ψηφίο

Re: τελευταίο ψηφίο

Re: τελευταίο ψηφίο

Re: τελευταίο ψηφίο

Re: τελευταίο ψηφίο

Μέλη σε σύνδεση