Αθροίσματα με πολλούς όρους

#1

Θεωρούμε τους αριθμούς:

$\displaystyle{A = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{100}}$ και $\displaystyle{B = \frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6} + . . . + \frac{100}{101}}$

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{A + B < 99}$ .

kfd · #2

#3

Θεωρούμε τους αριθμούς:

$\displaystyle{A = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{100}}$ και $\displaystyle{B = \frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6} + . . . + \frac{100}{101}}$

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{A + B < 99}$ .

ΛΥΣΗ

Ας δούμε και μια ακόμα λύση λίγο διαφορετική :

Έχουμε: $\displaystyle{A+B = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{100} +\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6} + . . . + \frac{100}{101}}=}$

$\displaystyle{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+(\frac{1}{4}+\frac{3}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{4}{5})+ . . . +(\frac{1}{100} +\frac{99}{100}) + \frac{100}{101}=}$

$\displaystyle{\frac{5}{6} + (\frac{4}{4} +\frac{5}{5} + . . . +\frac{100}{100}) +\frac{100}{101}}$

Το πλήθος των αριθμών μέσα στην παρένθεση είναι $\displaystyle{100 - 4 +1}$ , δηλαδή $\displaystyle{97}$ .

(Υπενθυμίζουμε ότι το πλήθος των διαδοχικών φυσικών αριθμών από τον $\displaystyle{n}$ ,μέχρι τον $\displaystyle{m}$ , είναι $\displaystyle{m-n+1}$ ).

Άρα έχουμε: $\displaystyle{A+B = \frac{5}{6}+ (1+1+ ...+1)+\frac{100}{101}}$ , με το πλήθος των αριθμών στην παρένθεση να είναι ίσο με $\displaystyle{97}$ .

Άρα: $\displaystyle{A+B = \frac{5}{6} + 97 + \frac{100}{101} = 97 + \frac{505+600}{606} = 97 + \frac{1105}{606}\leq 97 + 2 =99}$

Αθροίσματα με πολλούς όρους

Αθροίσματα με πολλούς όρους

Re: Αθροίσματα με πολλούς όρους

Re: Αθροίσματα με πολλούς όρους

Μέλη σε σύνδεση