Οι χρωματιστοί κύβοι

[cool geometry]

Έχουμε ένα ξύλο σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων . Το βάφουμε όλο ροζ και το κόβουμε σε μικρούς κύβους ακμής . Να υπολογίσετε πόσοι κύβοι έχουν μπογιατιστεί.

[Henri van Aubel]

Λογικά (τουλάχιστον έτσι το καταλαβαίνω) εννοεί πόσοι κύβοι έχουν ροζ μπογιά πάνω τους, χωρίς να μας νοιάζει πόση επιφάνεια καλύπτει αυτή η μπογιά. Δηλαδή πιστεύω ότι θέλει να βρούμε: Πόσοι κύβοι έχουν χρωματιστεί σε τουλάχιστον μία έδρα.
Ας το επαναφέρουμε , έτσι ώστε να απαντηθεί .

[kfd]

Δεν έχουν οι κύβοι ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου 1*8*10=80, και έχουν οι υπόλοιποι 360-80=280.

[kkala]

Μια άλλη απάντηση, θεωρώντας σαν βάση του στερεού το ορθογώνιο .

Η πάνω και κάτω βάση του στερεού έχουν εμβαδό . Με τη βαφή χρωματίζονται κυβάκια.

Εχει βέβαια χρωματισθεί και η παράπλευρη επιφάνεια του στερεού, που έχει ύψος . Επομένως το στερεό έχει συνολικά 3 στρώματα από κυβάκια (παράλληλα προς τις βασεις). Ο χρωματισμός του πάνω και κάτω στρώματος έχει ληφθεί υπόψη με το χρωματισμό των βάσεων.

Απομένει να ληφθεί υπόψη μόνο ενδιάμεσο στρώμα από κυβάκια, που έχει "περίμετρο" . Σε ευθεία γραμμή αυτή περιλαμβάνει κυβάκια που χρωματίζονται, εδώ όμως οι 4 γωνίες του στερεού περιλαμβάνουν 4 κυβάκια που χρωματίζονται σε δύο έδρες. Αρα τα κυβάκια που χρωματίζονται (σε 1 ή 2 έδρες) είναι .

Επομένως τα συνολικά κυβάκια του στερεού που χρωματίζονται είναι . Το αποτέλεσμα συμφωνεί με το #3 (kfd), που είναι πολύ κομψότερο υπολογιστικά. Ίσως πάντως το παρόν συμβάλλει στην κατανόηση.