Διαιρετότητα

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

ΑΣΚΗΣΗ 1. Δίνεται το γινόμενο:
Χωρίς χαρτί και στυλό, (μόνο "με το μάτι"), να εξετάσετε αν ο πιο πάνω αριθμός:
(α) Είναι άρτιος ή περιττός
(β) Διαιρείται με το και με το
(γ) Διαιρείται με το
(δ) Διαιρείται με το ή με το
(ε) Διαιρείται με το
(στ) Διαιρείται με το
Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας

ΑΣΚΗΣΗ 2. Με το σύμβολο , (όπου είναι φυσικός αριθμός) , συμβολίζουμε το γινόμενο .
(Ενώ ορίζουμε )
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του , ώστε ο αριθμός να διαιρείται με το .

[Mihalis_Lambrou]

ΑΣΚΗΣΗ 2. Με το σύμβολο , (όπου είναι φυσικός αριθμός) , συμβολίζουμε το γινόμενο .
(Ενώ ορίζουμε )
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του , ώστε ο αριθμός να διαιρείται με το .

Η ανάλυση σε πρώτους παράγοντες δίνει . Οπότε θέλουμε δύο 17-ρια στο γινόμενο . Το πρώτο είναι στον παράγοντα . Το δεύτερο θα το βρούμε στο . Αυτόματα το , ως μικρότερο του , ήδη υπάρχει ως παράγοντας.

Άρα το ζητούμενο μικρότερο παραγοντικό είναι το

[Henri van Aubel]

Καλό μεσημέρι και καλά χριστούγεννα!! Έλειψα κάποιες μέρες, λόγω αρκετών υποχρεώσεων, αλλά τώρα είμαι εδώ! Δίνω μία προσέγγιση στην απλή πρώτη άσκηση.

α) Το είναι πολλαπλάσιο του άρα το ζητούμενο γινόμενο είναι κι αυτό πολλαπλάσιο του δηλαδή άρτιος.

β) Το έχει άθροισμα ψηφίων ίσο με άρα διαιρείται με το Συνεπώς και το ζητούμενο γινόμενο διαιρείται με το και αφού είναι άρτιος, θα διαιρείται και με το

γ) Εφόσον το ζητούμενο γινόμενο διαιρείται με το θα διαιρείται και με το

δ) Το διαιρείται με το άρα και το ζητούμενο γινόμενο διαιρείται με το Επίσης, έχουμε πει ότι το ζητούμενο γινόμενο διαιρείται με το και με το άρα διαιρείται και με το

ε) Το ζητούμενο γινόμενο δεν διαιρείται με το (απλό συμπέρασμα!)

στ) Το ζητούμενο γινόμενο έχουμε πει ότι διαιρείται με το και με το άρα θα διαιρείται και με το

[Mihalis_Lambrou]

Δίνω μία προσέγγιση στην απλή πρώτη άσκηση.

Ακόμα καλύτερα, τα α), β), γ), δ) και στ) ισχύουν για όλα τα γινόμενα της μορφής (απλό). Δεν χρειάζεται, δηλαδή, ο συλλογισμός μας να κοιτάξει τα συγκεκριμένα νούμερα.

Για το ε). Το γινόμενο είναι πολλαπλάσιο του αν και μόνον αν συμβαίνει ένα από τα εξής τρία. α) Το είναι πολλαπλάσιο του 3, β) το είναι πολλαπλάσιο του 3 ή γ) το είναι πολλαπλάσιο του 9.
(Ας προσθέσω ότι τα τρία αυτά μόνο ένα μπορεί να ισχύει).

[Henri van Aubel]

Δίνω μία προσέγγιση στην απλή πρώτη άσκηση.

Ακόμα καλύτερα, τα α), β), γ), δ) και στ) ισχύουν για όλα τα γινόμενα της μορφής (απλό). Δεν χρειάζεται, δηλαδή, ο συλλογισμός μας να κοιτάξει τα συγκεκριμένα νούμερα.

Για το ε). Το γινόμενο είναι πολλαπλάσιο του αν και μόνον αν συμβαίνει ένα από τα εξής τρία. α) Το είναι πολλαπλάσιο του 3, β) το είναι πολλαπλάσιο του 3 ή γ) το είναι πολλαπλάσιο του 9.
(Ας προσθέσω ότι τα τρία αυτά μόνο ένα μπορεί να ισχύει).

Σωστά, αλλά το έκανα με τα νούμερα της εκφώνησης, έτσι ώστε να είναι πιο απλό στους μαθητές της Α Γυμνασίου, οι οποίοι (πλειοψηφία) δεν είναι εξοικειωμένοι με τους συμβολισμούς και τις μεταβλητές.

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Για το ότι το δοσμένο γινόμενο δεν διαιρείται με το , μπορούμε να το δούμε και ως εξής:
Κανείς από τους παράγοντες του γινομένου, εκτός μόνο από το , δεν διαιρείται με το . (Αυτό το βλέπουμε εύκολα αν προσθέσουμε τα ψηφία καθενός από τους παράγοντες). Ο όμως διαιρείται μόνο με το και όχι με το . Άρα και το δοσμένο γινόμενο δεν διαιρείται με το .