Ευκλείδεια διαίρεση

#1

Θεωρούμε τους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{a , b}$ . Αν ο $\displaystyle{a}$ ελαττωθεί κατά $\displaystyle{7}$ και ο $\displaystyle{b}$ αυξηθεί κατά $\displaystyle{8}$ , τότε προκύπτουν
δύο νέοι αριθμοί που διαιρούνται ακριβώς με το $\displaystyle{9}$ .
(α) Να βρεθεί το υπόλοιπο της Ευκλείδειας διαίρεσης του $\displaystyle{a+b}$ με το $\displaystyle{9}$

(β) Αν το πηλίκο της πιο πάνω διαίρεσης είναι $\displaystyle{29}$ , να βρεθούν οι αριθμοί $\displaystyle{a , b}$ για τους οποίους ο αριθμός $\displaystyle{b-a}$ παίρνει
την ελάχιστη θετική τιμή.

Τόλης · #2

Έστω

φυσικοί αριθμοί.
Αν ο

ελαττωθεί κατά

, τότε προκύπτει ο αριθμός a-7

που διαιρείται ακριβώς με το

, αρά $a-7=9\lambda$ , $\lambda \in \mathbb{Z}$

Αν ο

αυξηθεί κατά

, τότε προκύπτει ο αριθμός b+8

που διαιρείται ακριβώς με το

, άρα $b+8=9\mu$ , $\mu \in \mathbb{Z}$

Οι αριθμοί a,b

παίρνουν την μορφή
$a=9\lambda +7$
$b=9\mu -8$

α)
$a+b=9\lambda +7 +9\mu -8=9(\lambda +\mu )-1=9(\lambda +\mu )-9+8$
$a+b=9(\lambda +\mu-1 ) +8, \lambda +\mu -1\in \mathbb{Z}$

Αρά το υπόλοιπο είναι

Τόλης · #3

β)
Αφού το πηλίκο της διαίρεσης είναι

ο τύπος η Ευκλείδειας διαίρεσης παίρνει την μορφή $a+b=9\cdot 29+8$
Αρά a+b=269

Η ελαχίστη θετική τιμή του αριθμού b-a

είναι

διότι

άρα

Οπότε

και

Τόλης · #4

Μετά την ενημέρωση του κύριου Δημήτρη Ιωάννου, μέσα στην βιασύνη μου ξέχασα ότι οι αριθμοί a-7

και

πρέπει να διαιρούνται ακριβώς με το

. Στην παραπάνω λύση μου οι αριθμοί a-7=134-7=127

και

δεν διαιρούνται με το

.

Με λίγο προσπάθεια βλέπουμε ότι a+b=133+136=269

Οπότε

Αυτήν την φορά οι αριθμοί $a-7=133-7=126=14\cdot 9$ και $b+8=136+8=144=16\cdot 9$ διαιρούνται ακριβώς με το

#5

Γράφω αναλυτικά την απάντηση στο (β):

Από το (α) ερώτημα, βρήκαμε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{a+b}$ με το $\displaystyle{9}$ είναι $\displaystyle{8}$ και από την υπόθεση
δίνεται ότι το πηλίκο της πιο πάνω διαίρεσης είναι $\displaystyle{29}$ .
Άρα $\displaystyle{a+b=29.9+8=269}$ .
Τώρα: $\displaystyle{b-a=9m-8 -(9t+7)=9m-9t-15=9(m-t)-15}$
Η ελάχιστη θετική τιμή του $\displaystyle{b-a}$ επιτυγχάνεται όταν $\displaystyle{m-t = 2}$ και είναι $\displaystyle{b-a = 3}$ .
Οπότε έχουμε $\displaystyle{a+b=269 , a-b=3}$ , από όπου προκύπτει $\displaystyle{b=136 , a=133}$

Ευκλείδεια διαίρεση

Ευκλείδεια διαίρεση

Re: Ευκλείδεια διαίρεση

Re: Ευκλείδεια διαίρεση

Re: Ευκλείδεια διαίρεση

Re: Ευκλείδεια διαίρεση

Μέλη σε σύνδεση