Ευκλείδεια διαίρεση και κριτήρια διαιρετότητας
Συντονιστής: ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4771
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Ευκλείδεια διαίρεση και κριτήρια διαιρετότητας
Δίνεται ο αριθμός , ο οποίος έχει ψηφία (και το εμφανίζεται φορές.)
Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του ,
(1) Με το
(2) Με το
(3) Με το
(4) Με το
(5) Με το
Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του ,
(1) Με το
(2) Με το
(3) Με το
(4) Με το
(5) Με το
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ευκλείδεια διαίρεση και κριτήρια διαιρετότητας
Μια προσπάθεια
1) Ο Α είναι περιττός αριθμός, επομένως της μορφής άρα το υπόλοιπο είναι
2) Παρατηρούμε πως το άθροισμα των ψηφίων του Α είναι επομένως ο δηλ άρα το υπόλοιπο είναι 1
3)Ο Α τελειώνει σε άρα είναι της μορφής άρα το υπόλοιπο είναι
5) Έστω , με . Θα δείξουμε ότι
άρα το u δεν μπορεί να είναι .
άρα το u δεν μπορεί να είναι . Τέλος θα αποκλείσουμε την περίπτωση αφού τότε ο δηλ δηλ της μορφής κάτι που δεν γίνεται να ισχύει λόγω 2)
1) Ο Α είναι περιττός αριθμός, επομένως της μορφής άρα το υπόλοιπο είναι
2) Παρατηρούμε πως το άθροισμα των ψηφίων του Α είναι επομένως ο δηλ άρα το υπόλοιπο είναι 1
3)Ο Α τελειώνει σε άρα είναι της μορφής άρα το υπόλοιπο είναι
5) Έστω , με . Θα δείξουμε ότι
άρα το u δεν μπορεί να είναι .
άρα το u δεν μπορεί να είναι . Τέλος θα αποκλείσουμε την περίπτωση αφού τότε ο δηλ δηλ της μορφής κάτι που δεν γίνεται να ισχύει λόγω 2)
Ο Αρχιμήδης θα μνημονεύεται, όταν ο Αισχύλος θα έχει ξεχαστεί, γιατί, ενώ οι γλώσσες πεθαίνουν, οι μαθηματικές ιδέες είναι διαχρονικές..
Χρήστος Κ.
Χρήστος Κ.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4771
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Ευκλείδεια διαίρεση και κριτήρια διαιρετότητας
Για το (4) (που ξεχάστηκε εκ παραδρομής από τον Chris97) :
Έχουμε:
Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού , είναι
και άρα ο αριθμός αυτός είναι πολλαπλάσιο του , (αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του ).
Συνεπώς έχουμε:
, με ακέραιο. Συνεπώς (με βάση την Ευκλείδεια διαίρεση), το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το
είναι .
Και λίγο διαφορετικά για το (5):
Έχουμε:
Ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του (αφού είναι άρτιος) αλλά επίσης είναι και πολλαπλάσιο
του , αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι , (και το είναι πολλαπλάσιο του )
Αφού λοιπόν ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του και του και αφού επί πλέον
οι αριθμοί και είναι πρώτοι μεταξύ τους, άρα θα είναι και πολλαπλάσιο του .
Συνεπώς έχουμε:
, όπου ακέραιος.
Άρα το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το είναι .
Έχουμε:
Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού , είναι
και άρα ο αριθμός αυτός είναι πολλαπλάσιο του , (αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του ).
Συνεπώς έχουμε:
, με ακέραιο. Συνεπώς (με βάση την Ευκλείδεια διαίρεση), το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το
είναι .
Και λίγο διαφορετικά για το (5):
Έχουμε:
Ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του (αφού είναι άρτιος) αλλά επίσης είναι και πολλαπλάσιο
του , αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι , (και το είναι πολλαπλάσιο του )
Αφού λοιπόν ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του και του και αφού επί πλέον
οι αριθμοί και είναι πρώτοι μεταξύ τους, άρα θα είναι και πολλαπλάσιο του .
Συνεπώς έχουμε:
, όπου ακέραιος.
Άρα το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το είναι .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες