Συνάρηση της συνάρτησης

#1

.
Μια συνάρτηση

που ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό

, ικανοποιεί την εξίσωση f(f(f(x))) = 3x-10

για κάθε x.
Ποια είναι η τιμή του f(5)

;

(Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μικρούς μας μαθητές.)

#2

Καλησπέρα σε όλους. Αχ! Αν είχαμε μαθητές της Β΄ Γυμνασίου που θα ενδιαφέρονταν για τέτοια θέματα, θα ήμασταν (πιο) ευτυχισμένοι, ως διδάσκοντες....

Για x = 5

η εξίσωση γίνεται $\displaystyle f(f(f(5))) = 5$ (1)

Στην εξίσωση, θέτω όπου

το

. Η εξίσωση γίνεται $\displaystyle f\left( {f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right)} \right) = 3f\left( x \right) - 10$ (2)

Τώρα στη (2), θέτω x=5

. Έχουμε $\displaystyle f\left( {f\left( {f\left( {f\left( 5 \right)} \right)} \right)} \right) = 3f\left( 5 \right) - 10$ και λόγω της (1)

$\displaystyle f\left( 5 \right) = 3f\left( 5 \right) - 10 \Leftrightarrow f\left( 5 \right) = 5$ .

Fotis34 · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 23, 2026 9:20 am
.
Μια συνάρτηση που ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό , ικανοποιεί την εξίσωση για κάθε x.
Ποια είναι η τιμή του ;

(Ας την αφήσουμε ώρες για τους μικρούς μας μαθητές.)

Αποσύρω την λύση μου λόγο λάθους, ευχαριστώ τον κ. Μιχάλη για την διόρθωση.

#4

Fotis34 έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 24, 2026 8:05 pm
Θέτουμε:
$\displaystyle f(x)=ax+b,\quad a\neq 0$

Φώτη, προσοχή εδώ.

Βρήκες την γραμμική συνάρτηση που ικανοποιεί την συναρτησιακή σχέση f(f(f(x)))=3x-10

. όμως υπάρχουν και άλλες συναρτήσεις που την ικανοποιούν. Οπότε δεν ξέρεις ότι η τιμή που βρήκες για το f(5)

είναι η μοναδική. Με την μέθοδό σου δεν έχουμε την βεβαιότητα.

Ένα σχόλιο για όλους τους αναγνώστες:

Ο λόγος που λειτουργεί η άσκηση και μπορούμε να βρούμε το f(5)

, ενώ δεν μπορούμε να βρούμε το f(a)

για άλλα $a\ne 5$ , είναι ο εξής:

Το x=5

είναι το μοναδικό σταθερό σημείο της f(x)=3x-10

. Δηλαδή είναι ο μόνος αριθμός που ικανοποιεί f(x)=x

, εδώ $f(5)=3\times 5 - 10 = 5$ .
Αν παρατηρήσετε την λύση του Γιώργου, θα δείτε ότι η κατασκευή της

ώστε να ικανοποιεί f(5)=5

παίζει τον ρόλο της. Δείτε την τελευταία γραμμή της λύσης του.

Nikitas K. · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 23, 2026 9:20 am
.
Μια συνάρτηση που ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό , ικανοποιεί την εξίσωση για κάθε x.
Ποια είναι η τιμή του ;

(Ας την αφήσουμε ώρες για τους μικρούς μας μαθητές.)

Γενικά αν μια συνάρτηση

είναι ορισμένη στους πραγματικούς και για κάθε πραγματικό

ισχύει:

$\displaystyle {\underbrace{f ( \dots f ( f}_{n} (x) ) \dots ) = ax + b}$ όπου a,b

πραγματικοί και

θετικός ακέραιος.

Αποδεικνύεται ότι:
f(ax+b) = a f(x) + b

επιπλέον αν $a \neq 1$ τότε $f\left(\dfrac{b}{1-a}\right) = \dfrac{b}{1-a}$

Πράγματι,

$\displaystyle {f(ax+b) = f\left( \underbrace{f ( \dots f ( f}_{n} (x) ) \dots ) \right) = \underbrace{f ( \dots f ( f}_{n} ( f(x) ) ) \dots ) = a f(x) + b}$

τώρα θέτοντας όπου

το $\dfrac{b}{1-a}$ είναι εύκολο να αποδειχθεί το επιπρόσθετο συμπέρασμα.

mathematica.gr

Συνάρηση της συνάρτησης

Συνάρηση της συνάρτησης

Re: Συνάρηση της συνάρτησης

Re: Συνάρηση της συνάρτησης

Re: Συνάρηση της συνάρτησης

Re: Συνάρηση της συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση