Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

dimitris vol · #121

loukasmos έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 07, 2018 10:03 am

ji2mada2006 έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 16, 2014 3:25 pm

vzf έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 21
Κάποιος κατέβηκε μια προς τα κάτω κινούμενη σκάλα και έφτασε στη βάση της περνώντας από σκαλιά. Μετά ανέβηκε την ίδια σκάλα πάλι σκαλί σκαλί και πέρασε από σκαλιά. Υποθέτοντας ότι έκανε βήματα όταν ανέβαινε στο ίδιο χρόνο που έκανε όταν κατέβαινε, πόσα σκαλιά θα βλέπαμε αν σταματούσε η κυλιόμενη σκάλα; Οι ταχύτητες με τις οποίες ανέβηκε και κατέβηκε ήταν σταθερές.
viewtopic.php?f=35&t=35399
Έστω ο αριθμός των σκαλοπατιών που θα βλέπαμε αν η σκάλα σταματούσε .
Αρχικά την κατέβηκε με 50 βήματα , ενώ η σκάλα κινιόταν ,άρα '' χάθηκαν '' λόγω κίνησης σκαλοπάτια . Σε καθένα λοιπόν βήμα προς τα κάτω ''χάνονται'' $\frac{x-50}{50}$ σκαλοπάτια .
Στη συνέχεια την ανέβηκε με 125 βήματα , ενώ η σκάλα κινιόταν ,άρα '' χάθηκαν '' λόγω κίνησης σκαλοπάτια . Σε καθένα λοιπόν βήμα προς τα πάνω ''χάνονται'' $\frac{x-125}{125}$ σκαλοπάτια .
Δεδομένου ότι η σκάλα ανεβοκατεβαίνει με την ίδια ταχύτητα και ότι σε κάθε βήμα προς τα κάτω αντιστοιχούν 5 βήματα προς τα επάνω τότε θα ισχύει :
$\frac{x-50}{50}=5\frac{x-125}{125}$
$\frac{x-50}{50}=\frac{x-125}{25}$
$50\frac{x-50}{50}=50\frac{x-125}{25}$

σκαλοπάτια .
Θα ήθελα να πω πως η άνω λύση μας έχει οδηγήσει σε άτοπο, καθώς αν η σκάλα είναι 200 σκαλοπατιών τότε πως ανεβαίνει σε αυτήν κάποιος ανάποδα μετρώντας 125 σκαλοπάτια:

: η σκάλα σε στάση
$_{b}$ : ο χρόνος για ένα βήμα στην κάθοδο
$_{1}$ : ο χρόνος καθόδου
$_{2}$ : ο χρόνος ανόδου

Uανθρ.κάτω = $\frac{1}{t_{b}}$

Uανθρ.άνω = $\frac{5}{t_{b}}$

5Uανθρ.κάτω=Uανθρ.άνω

$5\cdot \frac{50}{t_{1}}=\frac{125}{t_{2}}$

$\frac{250}{t_{1}}=\frac{125}{t_{2}}$

$t_{1}=2\cdot t_{2}$ (1)

$x= Uskalas\cdot t_{1}+50$ (2)

$x= 125 - Uskalas\cdot t_{2}$ (3)

(2) + (3) => $Uskalas\cdot t_{1}+50 = 125 - Uskalas\cdot t_{2}$

(1) => $Uskalas\cdot 2t_{2}+50 = 125 - Uskalas\cdot t_{2}$
$Uskalas\cdot 3t_{2} = 75$
$Uskalas\cdot t_{2} = 25$ (4)

(3) + (4) =>

ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟΣ ΤΡΟΠΟΣ
εστω $u_{s}$ η ταχυτητα της σκαλας.

ΚΑΘΟΔΟΣ : εστω η ταχυτητα ανθρωπου $u_{1}$
και

ο χρονος για καθε σκαλι που διανυει .
Τότε αν x το μηκος της σκάλας :
$x=\left ( u_{1}+u_{s} \right )\cdot 50t$ (1)
ΑΝΟΔΟΣ :
εστω $u_{2}$ η ταχυτητα του ανθρωπου στην ανοδο
Προφανως αυτη ειναι τωρα πενταπλασια . Αρα $u_{2}=5u_{1}$
Τοτε ο χρονος για κάθε σκαλι θα ειναι : $\frac{1}{5}\cdot t$
Τότε για το μηκος x της σκάλας :
$x=\left ( u_{2}-u_{s} \right )\cdot 125\cdot \frac{1}{5}\cdot t$

$x=\left ( u_{2}-u_{s} \right )\cdot 25\cdot t$ (2)

Απο (1) και (2) $\left ( u_{1}+u_{s} \right )\cdot 50t=\left ( u_{2}-u_{s} \right )25\cdot t$
$2\cdot u_{1}+2u_{s}=u_{2}-u_{s}$
$2u_{1}+2u_{s}=5u_{1}-u_{s}$
$u_{1}=u_{s}$

Τοτε η (1) γινεται $x=2u_{1}\cdot 50t$
$x=100\cdot u_{1}\cdot t$ (3)

Ομως το μηκος του ενος σκαλιου ειναι $u_{s}\cdot t=u_{1}\cdot t$
Από την (3) εχουμε : χ = 100 σκαλιά .

merman · #122

Χαίρετε!!! Έχω κολλήσει με ένα απλό πρόβλημα εξισώσεων και για κάποιο λόγο δεν μου φαίνεται σωστό το αποτέλεσμα. Ψάχνω έναν ακέραιο που όταν διαιρεθεί δια το 7 είτε δια το 9 να αφήνει υπόλοιπο 3 και τα πηλικα των δύο διαιρεσεων διαφέρουν κατά 4. Χρησιμοποιω την κλασσικη σχέση Δ=δ*π+υ

#123

merman έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 11, 2018 10:24 am
Χαίρετε!!! Έχω κολλήσει με ένα απλό πρόβλημα εξισώσεων και για κάποιο λόγο δεν μου φαίνεται σωστό το αποτέλεσμα. Ψάχνω έναν ακέραιο που όταν διαιρεθεί δια το 7 είτε δια το 9 να αφήνει υπόλοιπο 3 και τα πηλίκα των δύο διαιρέσεων διαφέρουν κατά 4. Χρησιμοποιώ την κλασσική σχέση $\Delta = \delta \pi +\upsilon ,0\leq \upsilon <|\delta |$

π.χ.

KARKAR · #124

Έστω

ο ζητούμενος αριθμός . Τότε : X=7d+3

και

.

Συνεπώς : 9(d-4)=7d

, άρα :

και επομένως : $X=7\cdot18+3=129$

merman · #125

Αυτό το αποτέλεσμα βγάζω κι εγώ. Αλλά η άσκηση στο τέλος λέει ότι σωστή απάντηση είναι το 105. Γι αυτό δυσκολεύτηκα να σιγουρευτώ για το αποτέλεσμα. Ίσως είναι λάθος η απάντηση που αναγράφεται στην άσκηση.

#126

merman έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 11, 2018 7:28 pm
Αυτό το αποτέλεσμα βγάζω κι εγώ. Αλλά η άσκηση στο τέλος λέει ότι σωστή απάντηση είναι το 105. Γι αυτό δυσκολεύτηκα να σιγουρευτώ για το αποτέλεσμα. Ίσως είναι λάθος η απάντηση που αναγράφεται στην άσκηση.

Δεν μπορεί να είναι το 105

γιατί διαιρείται ακριβώς με το

merman · #127

Ναι, ακριβώς την ίδια σκέψη έκανα κι εγώ. Οπότε δεν θα λάβω υπόψη την ενδεικτικη απάντηση. Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση!!!

#128

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 11, 2018 6:32 pm
Έστω ο ζητούμενος αριθμός . Τότε : και .

Συνεπώς : , άρα : και επομένως : $X=7\cdot18+3=129$

Γιατί δεν είναι: X=7d+3

και

;;

KARKAR · #129

Ναι , γιατί όχι ; Συνεπώς και η λύση : X=-123

, είναι επίσης σωστή αλλά τρίτη λύση δεν υπάρχει .

Νατάσσα · #130

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 22, 2013 5:53 pm
Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α 6
Ένα γυμνάσιο έχει 350 μαθητές. Η Α τάξη έχει 20 μαθητές περισσότερους
απο την Β και η Γ έχει 32 λιγότερους απο την Α. Πόσους μαθητές έχει κάθε τάξη του γυμνασίου ;

Christos.N · #131

έστω $A,B,\Gamma$ το πλήθος των μαθητών τότε αν A=x

έχουμε

και $\Gamma=x-32$

$A+B+\Gamma =350$
3x-52=350

άρα $A=134,~B=114,~\Gamma=102$

#132

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 22, 2013 5:53 pm
Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α 6
Ένα γυμνάσιο έχει 350 μαθητές. Η Α τάξη έχει 20 μαθητές περισσότερους
απο την Β και η Γ έχει 32 λιγότερους απο την Α. Πόσους μαθητές έχει κάθε τάξη του γυμνασίου ;

Καλησπέρα σε όλους.

Αν η Νατάσσα, που μόλις γράφτηκε στο

, είναι μαθήτρια που θέλει να αξιοποιήσει εποικοδομητικά τον ελεύθερο χρόνο της, ας δεχτεί τις ευχές μου για καλή πρόοδο!

Εκτός της απάντησης του Χρήστου, στο πρόβλημα είχε δοθεί απάντηση από τον Ραφαήλ στο post #15

Ας προσφέρουμε στην Νατάσσα και μια άλλη λύση, ως αφορμή για να εμβαθύνει περισσότερο σε τέτοια προβλήματα:

Ας υποθέσουμε ότι έρχονται με μετεγγραφή

επιπλεόν μαθητές στη Β΄ τάξη και

στη Γ΄ τάξη. Τώρα όλοι οι μαθητές είναι 402

και όλες οι τάξεις έχουν ίσο αριθμό μαθητών, δηλαδή 134

. Αφαιρώντας τώρα τους μετεγγραφέντες, βρίσκουμε πόσους είχε αρχικά η Β΄και η Γ΄ τάξη.

Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Μέλη σε σύνδεση