Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

dimitris vol
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 11:14 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#121

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimitris vol » Σάβ Απρ 07, 2018 12:14 pm

loukasmos έγραψε:
Σάβ Απρ 07, 2018 10:03 am
ji2mada2006 έγραψε:
Σάβ Αύγ 16, 2014 3:25 pm
vzf έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 21
Κάποιος κατέβηκε μια προς τα κάτω κινούμενη σκάλα και έφτασε στη βάση της περνώντας από 50 σκαλιά. Μετά ανέβηκε την ίδια σκάλα πάλι σκαλί σκαλί και πέρασε από 125 σκαλιά. Υποθέτοντας ότι έκανε 5 βήματα όταν ανέβαινε στο ίδιο χρόνο που έκανε 1 όταν κατέβαινε, πόσα σκαλιά θα βλέπαμε αν σταματούσε η κυλιόμενη σκάλα; Οι ταχύτητες με τις οποίες ανέβηκε και κατέβηκε ήταν σταθερές.
viewtopic.php?f=35&t=35399
Έστω ο αριθμός των σκαλοπατιών που θα βλέπαμε αν η σκάλα σταματούσε .
Αρχικά την κατέβηκε με 50 βήματα , ενώ η σκάλα κινιόταν ,άρα '' χάθηκαν '' λόγω κίνησης x-50 σκαλοπάτια . Σε καθένα λοιπόν βήμα προς τα κάτω ''χάνονται'' \frac{x-50}{50} σκαλοπάτια .
Στη συνέχεια την ανέβηκε με 125 βήματα , ενώ η σκάλα κινιόταν ,άρα '' χάθηκαν '' λόγω κίνησης x-125 σκαλοπάτια . Σε καθένα λοιπόν βήμα προς τα πάνω ''χάνονται'' \frac{x-125}{125} σκαλοπάτια .
Δεδομένου ότι η σκάλα ανεβοκατεβαίνει με την ίδια ταχύτητα και ότι σε κάθε βήμα προς τα κάτω αντιστοιχούν 5 βήματα προς τα επάνω τότε θα ισχύει :
\frac{x-50}{50}=5\frac{x-125}{125}
\frac{x-50}{50}=\frac{x-125}{25}
50\frac{x-50}{50}=50\frac{x-125}{25}
x-50=2(x-125)
x-50=2x-250
x=200 σκαλοπάτια .
Θα ήθελα να πω πως η άνω λύση μας έχει οδηγήσει σε άτοπο, καθώς αν η σκάλα είναι 200 σκαλοπατιών τότε πως ανεβαίνει σε αυτήν κάποιος ανάποδα μετρώντας 125 σκαλοπάτια:


x : η σκάλα σε στάση
t _{b} : ο χρόνος για ένα βήμα στην κάθοδο
t _{1} : ο χρόνος καθόδου
t _{2} : ο χρόνος ανόδου

Uανθρ.κάτω = \frac{1}{t_{b}}

Uανθρ.άνω = \frac{5}{t_{b}}

5Uανθρ.κάτω=Uανθρ.άνω

5\cdot \frac{50}{t_{1}}=\frac{125}{t_{2}}

 \frac{250}{t_{1}}=\frac{125}{t_{2}}

t_{1}=2\cdot t_{2} (1)

x= Uskalas\cdot t_{1}+50 (2)

x= 125 - Uskalas\cdot t_{2} (3)

(2) + (3) =>Uskalas\cdot t_{1}+50 = 125 - Uskalas\cdot t_{2}

(1) =>Uskalas\cdot 2t_{2}+50 = 125 - Uskalas\cdot t_{2}
Uskalas\cdot 3t_{2} = 75
Uskalas\cdot t_{2} = 25 (4)


(3) + (4) => x=125-25
x=100

ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟΣ ΤΡΟΠΟΣ
εστω u_{s} η ταχυτητα της σκαλας.

ΚΑΘΟΔΟΣ : εστω η ταχυτητα ανθρωπου u_{1}
και t ο χρονος για καθε σκαλι που διανυει .
Τότε αν x το μηκος της σκάλας :
x=\left ( u_{1}+u_{s} \right )\cdot 50t (1)
ΑΝΟΔΟΣ :
εστω u_{2} η ταχυτητα του ανθρωπου στην ανοδο
Προφανως αυτη ειναι τωρα πενταπλασια . Αρα u_{2}=5u_{1}
Τοτε ο χρονος για κάθε σκαλι θα ειναι : \frac{1}{5}\cdot t
Τότε για το μηκος x της σκάλας :
x=\left ( u_{2}-u_{s} \right )\cdot 125\cdot \frac{1}{5}\cdot t

x=\left ( u_{2}-u_{s} \right )\cdot 25\cdot t (2)

Απο (1) και (2) \left ( u_{1}+u_{s} \right )\cdot 50t=\left ( u_{2}-u_{s} \right )25\cdot t
2\cdot u_{1}+2u_{s}=u_{2}-u_{s}
2u_{1}+2u_{s}=5u_{1}-u_{s}
u_{1}=u_{s}

Τοτε η (1) γινεται x=2u_{1}\cdot 50t
x=100\cdot u_{1}\cdot t (3)

Ομως το μηκος του ενος σκαλιου ειναι u_{s}\cdot t=u_{1}\cdot t
Από την (3) εχουμε : χ = 100 σκαλιά .


merman
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 11, 2018 10:09 am

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

#122

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από merman » Πέμ Οκτ 11, 2018 10:24 am

Χαίρετε!!! Έχω κολλήσει με ένα απλό πρόβλημα εξισώσεων και για κάποιο λόγο δεν μου φαίνεται σωστό το αποτέλεσμα. Ψάχνω έναν ακέραιο που όταν διαιρεθεί δια το 7 είτε δια το 9 να αφήνει υπόλοιπο 3 και τα πηλικα των δύο διαιρεσεων διαφέρουν κατά 4. Χρησιμοποιω την κλασσικη σχέση Δ=δ*π+υ


rek
Δημοσιεύσεις: 113
Εγγραφή: Σάβ Σεπ 03, 2011 10:15 pm

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

#123

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek » Πέμ Οκτ 11, 2018 11:44 am

merman έγραψε:
Πέμ Οκτ 11, 2018 10:24 am
Χαίρετε!!! Έχω κολλήσει με ένα απλό πρόβλημα εξισώσεων και για κάποιο λόγο δεν μου φαίνεται σωστό το αποτέλεσμα. Ψάχνω έναν ακέραιο που όταν διαιρεθεί δια το 7 είτε δια το 9 να αφήνει υπόλοιπο 3 και τα πηλίκα των δύο διαιρέσεων διαφέρουν κατά 4. Χρησιμοποιώ την κλασσική σχέση \Delta = \delta \pi +\upsilon ,0\leq \upsilon <|\delta |
π.χ. -123


ἀκούων ὅρα...
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10108
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

#124

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Οκτ 11, 2018 6:32 pm

Έστω X ο ζητούμενος αριθμός . Τότε : X=7d+3 και X=9(d-4)+3 .

Συνεπώς : 9(d-4)=7d , άρα : d=18 και επομένως : X=7\cdot18+3=129


merman
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 11, 2018 10:09 am

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

#125

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από merman » Πέμ Οκτ 11, 2018 7:28 pm

Αυτό το αποτέλεσμα βγάζω κι εγώ. Αλλά η άσκηση στο τέλος λέει ότι σωστή απάντηση είναι το 105. Γι αυτό δυσκολεύτηκα να σιγουρευτώ για το αποτέλεσμα. Ίσως είναι λάθος η απάντηση που αναγράφεται στην άσκηση.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7325
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

#126

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 11, 2018 7:38 pm

merman έγραψε:
Πέμ Οκτ 11, 2018 7:28 pm
Αυτό το αποτέλεσμα βγάζω κι εγώ. Αλλά η άσκηση στο τέλος λέει ότι σωστή απάντηση είναι το 105. Γι αυτό δυσκολεύτηκα να σιγουρευτώ για το αποτέλεσμα. Ίσως είναι λάθος η απάντηση που αναγράφεται στην άσκηση.
Δεν μπορεί να είναι το 105 γιατί διαιρείται ακριβώς με το 7.


merman
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 11, 2018 10:09 am

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

#127

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από merman » Πέμ Οκτ 11, 2018 10:04 pm

Ναι, ακριβώς την ίδια σκέψη έκανα κι εγώ. Οπότε δεν θα λάβω υπόψη την ενδεικτικη απάντηση. Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση!!!


rek
Δημοσιεύσεις: 113
Εγγραφή: Σάβ Σεπ 03, 2011 10:15 pm

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

#128

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek » Παρ Οκτ 12, 2018 12:27 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Οκτ 11, 2018 6:32 pm
Έστω X ο ζητούμενος αριθμός . Τότε : X=7d+3 και X=9(d-4)+3 .

Συνεπώς : 9(d-4)=7d , άρα : d=18 και επομένως : X=7\cdot18+3=129
Γιατί δεν είναι: X=7d+3 και X=9(d+4)+3 ;;


ἀκούων ὅρα...
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10108
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

#129

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Οκτ 12, 2018 7:29 am

Ναι , γιατί όχι ; Συνεπώς και η λύση : X=-123 , είναι επίσης σωστή αλλά τρίτη λύση δεν υπάρχει .


Απάντηση

Επιστροφή σε “B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες