Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2318
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Τρί Οκτ 22, 2013 10:17 pm

Άριστη η ιδέα και συμμετέχω μετα χαράς προτείνοντας το κλασσικό πρόβλημα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 11
Ο μαθηματικός Διόφαντος διατύπωσε τον παρακάτω διάλογο πρόβλημα «Ευτυχισμένε Πυθαγόρα, Ελικώνιε απόγονε των Μουσών, πές μου σε παρακαλώ πόσοι φοιτούν στην σχολή σου;» Βεβαίως θα σου πώ Πολυκράτη. Οι μισοί ασχολούνται με τα ωραία μαθηματικά, το ένα τέταρτο εξάλλου καταπιάνεται με την έρευνα της αθάνατης φύσης, ενώ το ένα έβδομο παραμένει τελείως αμίλητο και σκέφτεται παραμύθια. Υπάρχουν ακόμα και τρεις γυναίκες από τις οποίες ξεχωρίζει η Θεανώ. Να βρείτε τον αριθμό των μαθητών του Πυθαγόρα.


Καρδαμίτσης Σπύρος
gauss1988
Δημοσιεύσεις: 178
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 24, 2011 5:17 pm

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gauss1988 » Τρί Οκτ 22, 2013 10:20 pm

Doloros έγραψε:Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α 5

Μια βρύση , έστω A, με σταθερή παροχή γεμίζει, από μόνη της, μια δεξαμενή σε 2 ώρες.

Μια άλλη βρύση , έστω B, κι αυτή σταθερής παροχής γεμίζει, από μόνη της, την ίδια δεξαμενή σε 3 ώρες.

Ανοίγουμε την βρύση A και μετά από 1 ώρα ανοίγουμε και την βρύση B.

Σε πόση συνολικά ώρα θα γεμίσει ή δεξαμενή ;

Νίκος

Έστω σε x ώρες θα γεμίσει η δεξαμενή, από την στιγμή που ανοίχτηκε η βρύση A. Η βρύση Α θα ρίχνει νερό επί x ώρες ενώ η βρύση B θα ρίχνει νερό για x-1 ώρες, αφού την ανοίξαμε μια ώρα αργότερα.

Άρα θα έχουμε την εξίσωση: \frac{x}{2}+\frac{x-1}{3}=1\Leftrightarrow 3x+2(x-1)=6\Leftrightarrow 5x=8\Leftrightarrow
x=\frac{8}{5} ώρες, δηλαδή η δεξαμενή θα γεμίσει σε 1,6 ώρες , δηλαδή σε μία ώρα και 36 λεπτά.

Εξήγηση για την κατασκευή της εξίσωσης. Με την μέθοδο των τριών

Η βρύση A γεμίζει σε 2 ώρες μόνη της , 1 δεξαμενή
Η ίδια βρύση σε x ώρες, γεμίζει x_1 της δεξαμενής

Άρα x_1 =\frac{x}{2} . Το ίδιο και για την βρύση B βρίσκουμε ότι σε x-1 ώρες θα γεμίσει το \frac{x-1}{3} της δεξαμενής. Άρα και οι δύο μαζί, θα γεμίσουν το \frac{x}{2}+\frac{x-1}{3} μέρος της δεξαμενής, δηλαδή όλη την δεξαμενή.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Οκτ 22, 2013 10:50 pm

Πολύ καλή η ιδέα του Παύλου!

Ένα "ρεαλιστικό πρόβλημα" της καθημερινής ζωής.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 12

Ο Αντώνης αγοράζει 12 κουτιά αναψυκτικό στη λιανική τους τιμή. Στο ταμείο του καταστήματος όμως βλέπει μία διαφήμιση προσφοράς στο συγκεκριμένο αναψυκτικό, η οποία φαίνεται στο σχήμα. Με τα ίδια χρήματα αγοράζει 6 κουτιά επιπλέον. Ποια είναι η λιανική τιμή του αναψυκτικού;
22-10-2012 Β Γυμνασίου.jpg
22-10-2012 Β Γυμνασίου.jpg (12.16 KiB) Προβλήθηκε 6186 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Οκτ 22, 2013 10:58 pm

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 13


Σχεδιάζοντας ένα κτίριο ένας μηχανικός, βλέπει ότι οι διαστάσεις του δαπέδου μιας αίθουσας σχήματος ορθογωνίου διαφέρουν κατά 4 m. Αν η μεγαλύτερη διάσταση αυξηθεί κατά 2 m και η μικρότερη ελαττωθεί κατά 1 m, το εμβαδό του δαπέδου παραμένει το ίδιο. Να βρείτε τις διαστάσεις της αίθουσας και το εμβαδό της.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Οκτ 22, 2013 10:59 pm

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 14

Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις 10 cm και 6 cm. Αυξάνουμε τη μία του πλευρά κατά 5 cm. Πόσο πρέπει να αυξηθεί η άλλη του πλευρά, ώστε το νέο ορθογώνιο να έχει εμβαδό διπλάσιο του πρώτου και οι πλευρές του να έχουν μήκη φυσικούς αριθμούς;


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1309
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Τετ Οκτ 23, 2013 12:22 am

Γιώργος Ρίζος έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 13


Σχεδιάζοντας ένα κτίριο ένας μηχανικός, βλέπει ότι οι διαστάσεις του δαπέδου μιας αίθουσας σχήματος ορθογωνίου διαφέρουν κατά 4 m. Αν η μεγαλύτερη διάσταση αυξηθεί κατά 2 m και η μικρότερη ελαττωθεί κατά 1 m, το εμβαδό του δαπέδου παραμένει το ίδιο. Να βρείτε τις διαστάσεις της αίθουσας και το εμβαδό της.
Έστω \displaystyle{x} η μικρή διάσταση. Τότε η μεγάλη θα είναι \displaystyle{x+4} και το εμβαδόν \displaystyle{x\left( x+4 \right)\,\,\,\left( 1 \right)}. Με τις υποθετικές διαστάσεις για το εμβαδόν θα έχουμε

\displaystyle{\left( x-1 \right)\left( x+6 \right)\,\,\,\left( 2 \right)}. Από \displaystyle{\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow x\left( x+4 \right)=\left( x-1 \right)\left( x+6 \right)\Rightarrow {{x}^{2}}+4x={{x}^{2}}+5x-6\Rightarrow x=6}.

Άρα οι διαστάσεις είναι \displaystyle{6\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,10} μέτρα, ενώ το εμβαδόν της αίθουσας \displaystyle{60\,\,{{m}^{2}}}.

Υ.Γ.: Εννοείτε ότι ο περιορισμός για την μικρή διάσταση είναι \displaystyle{x>1}.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1309
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Τετ Οκτ 23, 2013 1:43 am

Γιώργος Ρίζος έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 14

Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις 10 cm και 6 cm. Αυξάνουμε τη μία του πλευρά κατά 5 cm. Πόσο πρέπει να αυξηθεί η άλλη του πλευρά, ώστε το νέο ορθογώνιο να έχει εμβαδό διπλάσιο του πρώτου και οι πλευρές του να έχουν μήκη φυσικούς αριθμούς;
Θέλουμε ορθογώνιο που να έχει εμβαδόν \displaystyle{2\left( 6\cdot 10 \right)\,\,c{{m}^{2}}=120\,\,c{{m}^{2}}}. Αν η μία διάσταση αυξηθεί κατά \displaystyle{x\,\,cm} και η άλλη κατά \displaystyle{y\,\,cm},

τότε \displaystyle{\left( 6+x \right)\left( 10+y \right)=120}, δηλαδή \displaystyle{60+6y+10x+xy=120\Rightarrow 6y+10x+xy=60\,\,\,\left( 1 \right)}. Αν \displaystyle{x=5}, τότε από την \left( 1 \right) έχουμε \displaystyle{y=\frac{10}{11}} που από τους

περιορισμούς δεν είναι δεκτή τιμή, άρα δεν μπορούμε να αυξήσουμε την μικρή διάσταση κατά \displaystyle{5\,\,cm}. Για \displaystyle{y=5} από την \left( 1 \right) έχουμε \displaystyle{x=2} και τότε θα έχουμε

ορθογώνιο με διαστάσεις \displaystyle{\alpha =8\,\,cm\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\beta =15\,\,cm} με \displaystyle{E=\left( 8\,\,cm \right)\left( 15\,\,cm \right)=120\,\,c{{m}^{2}}}.


pana1333
Δημοσιεύσεις: 1030
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Τετ Οκτ 23, 2013 3:04 am

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 15

α)Ένα παντελόνι κοστίζει 55 ευρώ με έκπτωση 20%. Πόσο ήταν η αρχική τιμή του παντελονιού;
β)Ένα παντελόνι κοστίζει 125 ευρώ και το πληρώσαμε 95 ευρώ. Πόσο τοις εκατό έκπτωση μας έκαναν;
τελευταία επεξεργασία από pana1333 σε Τετ Οκτ 23, 2013 3:22 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1030
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Τετ Οκτ 23, 2013 3:20 am

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 16

α)Το άθροισμα 5 διαδοχικών αριθμών ισούται με 90. Ποιοι είναι οι αριθμοί αυτοί;
β) Η διαφορά του γινομένου ενός φυσικου αριθμού με το προηγούμενο του και με τον επόμενο του ισούται με -4. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

edit: εγινε διορθωση στο β)
τελευταία επεξεργασία από pana1333 σε Τρί Οκτ 29, 2013 1:32 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
raf616
Δημοσιεύσεις: 680
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 17, 2013 4:35 pm
Τοποθεσία: Μυτιλήνη

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από raf616 » Τετ Οκτ 23, 2013 7:21 am

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Άριστη η ιδέα και συμμετέχω μετα χαράς προτείνοντας το κλασσικό πρόβλημα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 11
Ο μαθηματικός Διόφαντος διατύπωσε τον παρακάτω διάλογο πρόβλημα «Ευτυχισμένε Πυθαγόρα, Ελικώνιε απόγονε των Μουσών, πές μου σε παρακαλώ πόσοι φοιτούν στην σχολή σου;» Βεβαίως θα σου πώ Πολυκράτη. Οι μισοί ασχολούνται με τα ωραία μαθηματικά, το ένα τέταρτο εξάλλου καταπιάνεται με την έρευνα της αθάνατης φύσης, ενώ το ένα έβδομο παραμένει τελείως αμίλητο και σκέφτεται παραμύθια. Υπάρχουν ακόμα και τρεις γυναίκες από τις οποίες ξεχωρίζει η Θεανώ. Να βρείτε τον αριθμό των μαθητών του Πυθαγόρα.
Ο τύπος προβλήματος είναι γνωστός, αλλά σαν πρόβλημα δεν το έχω ξαναδεί :D

Αν x ο αριθμός των μαθητών, τότε αυτοί που ασχολούνται με τα μαθηματικα είναι \displaystyle{\frac{x}{2}}, με τη φυσική \displaystyle{\frac{x}{4}}, ενώ με τα παραμύθια \displaystyle{\frac{x}{7}}. Έτσι σχηματίζουμε την εξίσωση:

\displaystyle{\frac{x}{2} + \frac{x}{4} + \frac{x}{7} + 3 = x \Leftrightarrow 14x + 7x + 4x + 84 = 28x \Leftrightarrow -3x = -84 \Leftrightarrow x = 28}

Άρα, οι μαθητές είναι 28


Πάντα κατ' αριθμόν γίγνονται... ~ Πυθαγόρας

Ψυρούκης Ραφαήλ
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1362
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τετ Οκτ 23, 2013 11:43 am

Πρόβλημα 17

‘Ενας πατέρας είναι μεγαλύτερος κατά \displaystyle{\,\,40\,\,\,} χρόνια από την κόρη του . Πριν από \displaystyle{\,\,\,3\,\,\,} χρόνια η ηλικία του ήταν πενταπλάσια από αυτήν της κόρης του .
Ποιες είναι οι σημερινές τους ηλικίες ;


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
T-Rex
Δημοσιεύσεις: 409
Εγγραφή: Παρ Οκτ 30, 2009 8:47 pm
Τοποθεσία: Ασπροβαλτα-Τσαριτσάνη

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από T-Rex » Τετ Οκτ 23, 2013 1:26 pm

exdx έγραψε:Πρόβλημα 17

‘Ενας πατέρας είναι μεγαλύτερος κατά \displaystyle{\,\,40\,\,\,} χρόνια από την κόρη του . Πριν από \displaystyle{\,\,\,3\,\,\,} χρόνια η ηλικία του ήταν πενταπλάσια από αυτήν της κόρης του .
Ποιες είναι οι σημερινές τους ηλικίες ;
Αν x η ηλικία της κόρης τοτε η ηλικία του πατέρα είναι 40+x
Πριν από 3 χρόνια η ηλικία της κόρης ήταν x-3 και του πατέρα 40+x-3 και ήταν πενταπλάσια από της κόρης του
άρα 5.(x-3)=40+x-3\Leftrightarrow 5x-15=37+x\Leftrightarrow 5x-x=37+15\Leftrightarrow 4x=52\Leftrightarrow x=\frac{52}{4}\Leftrightarrow x=13
και η ηλικία του μπαμπά είναι 40+13=53


raf616
Δημοσιεύσεις: 680
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 17, 2013 4:35 pm
Τοποθεσία: Μυτιλήνη

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από raf616 » Τετ Οκτ 23, 2013 1:45 pm

pana1333 έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 15

α)Ένα παντελόνι κοστίζει 55 ευρώ με έκπτωση 20%. Πόσο ήταν η αρχική τιμή του παντελονιού;
β)Ένα παντελόνι κοστίζει 125 ευρώ και το πληρώσαμε 95 ευρώ. Πόσο τοις εκατό έκπτωση μας έκαναν;
α) Αν x η αρχική τιμή του παντελονιού, τότε:

\displaystyle{x - \frac{20x}{100} = 55 \Leftrightarrow 100x - 20x = 5500 \Leftrightarrow 80x = 5500 \Leftrightarrow x = 68, 75}

Άρα, η αρχική τιμή του παντελονιού είναι 68, 75 ευρώ.

β) Αν \displaystyle{\frac{x}{100}} η έκπτωση τότε:

\displaystyle{125 - \frac{125x}{100} = 95 \Leftrightarrow 12500 - 125x = 9500 \Leftrightarrow -125x = -3000 \Leftrightarrow x = 24}

Άρα, η έκτωση ήταν 24 τοις εκατό.


Πάντα κατ' αριθμόν γίγνονται... ~ Πυθαγόρας

Ψυρούκης Ραφαήλ
Άβαταρ μέλους
T-Rex
Δημοσιεύσεις: 409
Εγγραφή: Παρ Οκτ 30, 2009 8:47 pm
Τοποθεσία: Ασπροβαλτα-Τσαριτσάνη

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από T-Rex » Τετ Οκτ 23, 2013 1:59 pm

pana1333 έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 16

α)Το άθροισμα 5 διαδοχικών αριθμών ισούται με 90. Ποιοι είναι οι αριθμοί αυτοί;
β) Η διαφορά του γινομένου ενός αριθμού με το προηγούμενο του και με τον επόμενο του ισούται με -1/4. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

α) Εχουμε x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)=90\Leftrightarrow 5x+10=90\Leftrightarrow 5x=80\Leftrightarrow x=16
και οι αριθμοί είναι 16+17+18+19+20=90
με άλλο τρόπο (x-2)+(x-1)+x+(x+1)+(x+2)=90\Leftrightarrow 5x=90\Leftrightarrow x=18 και οι αριθμοί είναι οι ίδιοι
β) δεν το καταλαβαίνω βγαίνει \frac{1}{8}


leftgavr
Δημοσιεύσεις: 32
Εγγραφή: Τρί Ιουν 18, 2013 1:59 pm

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από leftgavr » Τετ Οκτ 23, 2013 7:53 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 7

Αν οι μαθητές μιας τάξης καθίσουν ανά δύο στα θρανία, τότε μένουν όρθιοι 4 μαθητές. Αν όμως καθίσουν ανά τρεις,
τότε μένουν κενά 3 θρανία. Πόσοι είναι οι μαθητές και πόσα τα θρανία;

(Να λυθεί με εξίσωση)
Αν x το πλήθος των μαθητών της τάξης και y το πλήθος των θρανίων τότε από την εκφώνηση ισχύει:

\displystyle1) {\frac{x}{2}}=y+2

και

\displaystyle2) {\frac{x}{3}=y-3

Από το \displystyle1) προκύπτει \displaystyle x=2(y+2)

Άρα:

\displaystyle {\frac{2(y+2)}{3}}=y-3\Leftrightarrow\\ 
  
\displaystyle 3\cdot{\frac{2(y+2)}{3}}=3y-9\Leftrightarrow\\ 
 
\displaystyle 2y+4=3y-9\Leftrightarrow\\ 
 
\displaystyle 2y-3y=-9-4\Leftrightarrow\\ 
 
\displaystyle -y=-9-4\Leftrightarrow\\ 
 
\displaystyle y=13


Οπότε:

\displaystyle x=2(13+2)\Leftrightarrow\\ 
 
\displaystyle x=26+4=30


pana1333
Δημοσιεύσεις: 1030
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Πέμ Οκτ 24, 2013 1:43 am

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 18

Έστω ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και το σημείο A\left(x_{1},y_{1} \right) που ανήκει στην ευθεία y=-\frac{3}{2}x+\frac{3}{4}. Αν το άθροισμα των συντεταγμένων του σημείου A ισούται με \frac{2}{5} να βρεθούν η τετμημένη x_{1} και η τεταγμένη y_{1}.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1309
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#37

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Πέμ Οκτ 24, 2013 2:30 pm

pana1333 έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 18

Έστω ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων και το σημείο A\left(x_{1},y_{1} \right) που ανήκει στην ευθεία y=-\frac{3}{2}x+\frac{3}{4}. Αν το άθροισμα των συντεταγμένων του σημείου A ισούται με \frac{2}{5} να βρεθούν η τετμημένη x_{1} και η τεταγμένη y_{1}.
Αφού το σημείο \displaystyle{A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)} ανήκει στην ευθεία, τότε \displaystyle{{{y}_{1}}=-\frac{3}{2}{{x}_{1}}+\frac{3}{4}\,\,\,\left( 1 \right)}

Όμως \displaystyle{{{x}_{1}}+{{y}_{1}}=\frac{2}{5}\Rightarrow {{y}_{1}}=\frac{2}{5}-{{x}_{1}}\,\,\,\left( 2 \right)}. Από τις \displaystyle{\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow \frac{2}{5}-{{x}_{1}}=-\frac{3}{2}{{x}_{1}}+\frac{3}{4}\,\,\,\,\overset{EK\Pi =20}{\mathop{\Rightarrow }}\,\,\,\,10{{x}_{1}}=7\Rightarrow {{x}_{1}}=0,7\Rightarrow {{y}_{1}}=-0,3}.


Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1438
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#38

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Παρ Οκτ 25, 2013 7:42 pm

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 19

Η Ευφροσύνη έχει 40 ευρώ λιγότερα από τον Αναστάση. Ο Μανώλης έχει 60 ευρώ περισσότερα από τον Αναστάση. Η Ευφροσύνη ξόδεψε το \dfrac{1}{3} των χρημάτων της, ο Αναστάσης το \dfrac{1}{4} των χρημάτων του και ο Μανώλης το \dfrac{1}{5} των χρημάτων του. Τώρα και οι τρεις μαζί έχουν 243 ευρώ. Πόσα χρήματα είχε αρχικά ο καθένας τους;


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
raf616
Δημοσιεύσεις: 680
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 17, 2013 4:35 pm
Τοποθεσία: Μυτιλήνη

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#39

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από raf616 » Σάβ Οκτ 26, 2013 7:13 am

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 19

Η Ευφροσύνη έχει 40 ευρώ λίγότερα από τον Αναστάση. Ο Μανώλης έχει 60 ευρώ περισσότερα από τον Αναστάση. Η Ευφροσύνη ξόδεψε το \dfrac{1}{3} των χρημάτων της, ο Αναστάσης το \dfrac{1}{4} των χρημάτων του και ο Μανώλης το \dfrac{1}{5} των χρημάτων του. Τώρα και οι τρεις μαζί έχουν 243 ευρώ. Πόσα χρήματα είχε αρχικά ο καθένας τους;
Έστω ότι ο Αναστάσης έχει x ευρώ. Τότε η Ευφροσύνη έχει x - 40 ευρώ, ενώ ο Μανώλης x + 60 ευρώ.

Αφού όμως ξόδεψαν ένα μέρος των χρημάτων, έχουν:

Ευφροσύνη: \displaystyle{x - 40 - \frac{x - 40}{3} = \frac{3x - 120 - x + 40}{3} = \frac{2x - 80}{3}}

Αναστάσης: \displaystyle{x - \frac{x}{4} = \frac{4x - x}{4} = \frac{3x}{4}}

Μανώλης: \displaystyle{x + 60 - \frac{x + 60}{5} = \frac{5x + 300 - x - 60}{5} = \frac{4x + 240}{5}}

Επομένως, σύμφωνα με την υπόθεση έχουμε:

\displaystyle{\frac{2x - 80}{3} + \frac{3x}{4} + \frac{4x + 240}{5} = 243 \Leftrightarrow 20(2x - 80) + 45x + 12(4x + 240) = 14580 \Leftrightarrow 40x - 1600 + 45x + 48x + 2880 = 14580 \Leftrightarrow}

\Leftrightarrow 133x = 13300 \Leftrightarrow x = 100}

Επομένως, ο Αναστάσης έχει 100 ευρώ, η Ευφροσύνη 60 ευρώ και ο Μανώλης 160 ευρώ.


Πάντα κατ' αριθμόν γίγνονται... ~ Πυθαγόρας

Ψυρούκης Ραφαήλ
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1438
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

#40

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Κυρ Οκτ 27, 2013 4:39 pm

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 20

Η ηλικία του Αναστάση είναι τριπλάσια της ηλικίας της Ευφροσύνης. Ο Μανώλης είναι δύο χρόνια μεγαλύτερος από τον Αναστάση. Όταν η Ευφροσύνη θα έχει τη σημερινή ηλικία του Μανώλη τότε και οι τρεις μαζί θα έχουν άθροισμα ηλικιών 60 έτη. Ποιες είναι οι σημερινές τους ηλικίες;


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Απάντηση

Επιστροφή σε “B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης