Ελάχιστη τιμή!

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1630
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Ελάχιστη τιμή!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Παρ Μαρ 31, 2017 7:58 pm

Έστω x,y \in \mathbb{N^*} τέτοιοι ώστε 45x=y^2.

Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή του x+y.

Υ.Γ. Φραγή μέχρι 2/4 στα δεινοσαυράκια (Χάρη, Διονύση, JimNt. ... )


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !

Λέξεις Κλειδιά:
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Ελάχιστη τιμή!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Πέμ Απρ 06, 2017 9:05 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Έστω x,y \in \mathbb{N^*} τέτοιοι ώστε 45x=y^2.

Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή του x+y.

Υ.Γ. Φραγή μέχρι 2/4 στα δεινοσαυράκια (Χάρη, Διονύση, JimNt. ... )
Αφού x,y \in \mathbb{N^*} και 45x=y^{2}, έχω ότι 45x τέλειο τετράγωνο. Η ελάχιστη τιμή του x, για να

έχουμε 45x το μικρότερο δυνατό τέλειο τετράγωνο, είναι \boxed{x=5}. Άρα y^{2}=225\Rightarrow \boxed{y=15}. Άρα,

η ελάχιστη τιμή του x+y, είναι \boxed{x+y=20}


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1630
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ελάχιστη τιμή!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Απρ 06, 2017 9:20 pm

:coolspeak:

Νικόλα, αν η εκφώνηση ήταν έτσι:

Έστω x,y \in \mathbb{N^*} τέτοιοι ώστε 4116x=y^2.

Να βρεις την ελάχιστη δυνατή τιμή του x+y και να εξηγήσεις αναλυτικά την λύση σου.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Ελάχιστη τιμή!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Πέμ Απρ 06, 2017 9:36 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Nα εξηγήσεις αναλυτικά την λύση σου.
Αναλυτικά τι εννοείς; Να το λύσω με μαθηματικές πράξεις; Εγώ το έλυσα έτσι γιατί ήταν μικρό το νούμερο. Θα

ξαναπροσπαθήσω και θα σου απαντήσω!


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1630
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ελάχιστη τιμή!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Απρ 06, 2017 9:43 pm

Το σημείο αυτό της λύσης σου
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Η ελάχιστη τιμή του x, για να έχουμε 45x το μικρότερο δυνατό τέλειο τετράγωνο, είναι \boxed{x=5}.
θέλει εξήγηση, όσο απλό κι αν είναι.

Δικαιολόγησε το, και μετά κάνε το ίδιο για την νέα εκφώνηση της άσκησης που έβαλα.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 593
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Ελάχιστη τιμή!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Πέμ Απρ 06, 2017 9:45 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Ορέστης Λιγνός έγραψε:Nα εξηγήσεις αναλυτικά την λύση σου.
Αναλυτικά τι εννοείς; Να το λύσω με μαθηματικές πράξεις; Εγώ το έλυσα έτσι γιατί ήταν μικρό το νούμερο. Θα

ξαναπροσπαθήσω και θα σου απαντήσω!
Η ανάλυση σε πρώτους παράγοντες θα σε βοηθήσει


Bye :')
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Ελάχιστη τιμή!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Πέμ Απρ 06, 2017 9:50 pm

JimNt. έγραψε:Η ανάλυση σε πρώτους παράγοντες θα σε βοηθήσει
Πάνω σε αυτό δουλεύω τώρα!!!


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Ελάχιστη τιμή!

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τετ Απρ 12, 2017 3:50 pm

Ορέστη γεια σου! Συγγνώμη που άργησα να σού απαντήσω. Είναι:

4116=2^{2} \cdot 3 \cdot 7^{3}

Άρα 2^{2} \cdot 3 \cdot 7^{3} \cdot x=y^{2}\Rightarrow 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 49^{2} \cdot x= y^{2} \cdot 3 \cdot 7 \Rightarrow \sqrt{2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 49^{2} \cdot x}=\sqrt{ y^{2} \cdot 3 \cdot 7}

Εδώ \sqrt{x}=\sqrt{21} γιατί είναι και δύο άρρητοι ενώ το \boxed{y=294} γιατί είναι φυσικοί.

Άρα \boxed{x+y=315}
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Πέμ Απρ 13, 2017 6:05 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Ελάχιστη τιμή!

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τετ Απρ 12, 2017 3:55 pm

Για την προηγούμενη:

45=3^{2} \cdot 5

Άρα 3^{2} \cdot 5 \cdot x=y^{2} \Rightarrow \sqrt{5^{2} \cdot 3^{2} \cdot x}=\sqrt{y^{2} \cdot 5

Εδώ \sqrt{x}=\sqrt{5} και τα υπόλοιπα είναι εύκολα...


Απάντηση

Επιστροφή σε “B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες