Τρία κανονικά εξάγωνα

[Παύλος Μαραγκουδάκης]

Το πρόβλημα που ακολουθεί, δημοσιεύτηκε πριν από 5 ημέρες από τον Σωκράτη Ρωμανίδη εδώ. Είναι ωραίο πρόβλημα!

Τα δύο κανονικά εξάγωνα είναι ίσα και το τρίτο έχει εμβαδόν 10. Να βρεθεί το εμβαδόν του κόκκινου τριγώνου.

κανονικα εξαγωνα.png (160.01 KiB) Προβλήθηκε 1217 φορές

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Το πρόβλημα που ακολουθεί, δημοσιεύτηκε πριν από 5 ημέρες από τον Σωκράτη Ρωμανίδη εδώ. Είναι ωραίο πρόβλημα!

Τα δύο κανονικά εξάγωνα είναι ίσα και το τρίτο έχει εμβαδόν 10. Να βρεθεί το εμβαδόν του κόκκινου τριγώνου.
κανονικά εξάγωνα.png

Καλημέρα!

Αρχικά ονομάζω τα σημεία όπως φαίνεται στο σχήμα.

Με την πλευρά του μικρού εξαγώνου είναι :

Επειδή οι γωνίες του κανονικού εξαγώνου είναι οι εξωτερικές θα είναι κι έτσι το ισόπλευρο και άρα μέσο του οπότε .



Είναι

Έτσι θα είναι

69.PNG (37.9 KiB) Προβλήθηκε 1196 φορές

[Al.Koutsouridis]

Το πρόβλημα που ακολουθεί, δημοσιεύτηκε πριν από 5 ημέρες από τον Σωκράτη Ρωμανίδη εδώ. Είναι ωραίο πρόβλημα!

Τα δύο κανονικά εξάγωνα είναι ίσα και το τρίτο έχει εμβαδόν 10. Να βρεθεί το εμβαδόν του κόκκινου τριγώνου.
κανονικά εξάγωνα.png

tria_kanonika_exagwna.png (19.99 KiB) Προβλήθηκε 1146 φορές

Έστω οι πλευρές του μεγάλου και μικρού εξαγώνου αντίστοιχα και τα εμβαδά τους και το εμβαδόν του τριγώνου που αναζητούμε. Παρατηρούμε ότι τα δυο τρίγωνα που σχηματίζονται μεταξύ των εξαγώνων είναι ισόπλευρα. Οπότε θα έχουμε (βλέπε σχήμα) , . Άρα δηλαδή , ή αλλιώς .

Το εμβαδόν ενός τριγώνου ισούται με την βάση επί το ύψος και είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου που έχει πλάτος την βάση του τριγώνου και μήκος το ύψος. Οπότε το εμβαδόν του ζητούμενου τριγώνου θα είναι ίσο με το εμβαδόν του ορθογωνίου (όπως φαίνεται στο σχήμα). Το ορθογώνιο αυτό είναι το μισό από το ορθογώνιο με πλάτος τη βάση του τριγώνου και μήκος το ύψος του τριγώνου.

Το κανονικό εξάγωνο μπορεί να χωριστεί σε ίσα ορθογώνια τρίγωνα όπως στο σχήμα. Το εμβαδόν του ορθογωνίου ισούται με από αυτά. Τα εξάγωνα είναι όμοια οπότε ο λόγος των εμβαδών τους θα ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας τους. Επομένως θα έχουμε

ή

Τελικά το εμβαδόν του τριγώνου είναι




Βέβαια δεν έχω κοιτάξει τι είναι στην ύλη της Β' Γυμνασίου, οπότε μπορεί να μην είναι η επιθυμητή προσέγγιση.