Τρεις ομόκεντροι κύκλοι

#1

Τρεις ομόκεντροι κύκλοι έχουν εμβαδά $2\pi, 3\pi, 4\pi.$ Από ένα σημείο Α του μεγαλύτερου κύκλου σχεδιάζουμε μία εφαπτομένη προς τον μεσαίο κύκλο με σημείο επαφής το

και μια εφαπτομένη προς το μικρό κύκλο με σημείο επαφής το

, όπως το σχήμα. Πόσων μοιρών είναι η γωνία $\hat{BAC}$ ;

: Τρεις ομόκεντροι κύκλοι.png (13.85 KiB) Προβλήθηκε 1091 φορές

Lymperis Karras · #2

Λύση 1:
Καταρχάς οι ακτίνες των κύκλων είναι $\sqrt{2}, \sqrt{3}, 2$ αντίστοιχα.

Με ΠΘ στο AOC

διαπιστώνουμε ότι είναι ορθογώνιο ισοσκελές, άρα $\widehat{AOC}=45^{\circ}$ .

Από το εγγράψιμο AOBC

η ζητούμενη γωνία μεταφέρεται στην $\widehat{BOC}$ .

Αλλά έχουμε και ότι $cos\widehat{AOB}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , άρα $\widehat{AOB}=30^{\circ}$

Άμεσα λοιπόν έπεται ότι η ζητούμενη είναι $\widehat{BOC}=\widehat{BAC}=15^{\circ}$

Lymperis Karras · #3

Λύση 2:
Λόγω της ομοιότητας των τριγώνων ACT, BOT

, έχουμε $\dfrac{OT}{AT}=\dfrac{OB}{AC}\Leftrightarrow \dfrac{OT}{AT}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Επίσης, με ΠΘ στο AOB

παίρνουμε

.
Άρα γίνεται $\dfrac{OT}{1+BT}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ (1)

και με ΠΘ στο BOT

παίρνουμε

(2)

Λύνοντας το σύστημα που προκύπτει, παίρνουμε $BT=\sqrt{3}(2-\sqrt{3})$

άρα $tan\widehat{BOT}=\dfrac{\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}=tan15^{\circ}$

άρα $\widehat{BAC}=\widehat{BOC}=15^{\circ}$

Ως

ορίζω την τομή της

με την

#4

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 06, 2021 2:54 pm
Τρεις ομόκεντροι κύκλοι έχουν εμβαδά $2\pi, 3\pi, 4\pi.$ Από ένα σημείο Α του μεγαλύτερου κύκλου σχεδιάζουμε μία εφαπτομένη προς τον μεσαίο κύκλο με σημείο επαφής το και μια εφαπτομένη προς το μικρό κύκλο με σημείο επαφής το , όπως το σχήμα. Πόσων μοιρών είναι η γωνία $\hat{BAC}$ ;Τρεις ομόκεντροι κύκλοι.png

: 3 ομόκεντροι.png (21.48 KiB) Προβλήθηκε 1051 φορές

Αφού διαπιστώσουμε ότι οι ακτίνες των κύκλων είναι $\displaystyle \sqrt 2 ,\sqrt 3 ,2,$ με Π. Θ βρίσκουμε $\displaystyle AC = \sqrt 2 ,AB = 1.$

Άρα, $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \tan (O\widehat AB) = \sqrt 3 \Leftrightarrow O\widehat AB = 60^\circ \\ \\ \tan (O\widehat AC) = 1 \Leftrightarrow O \widehat AC = 45^\circ \end{array} \right. \Rightarrow$ $\boxed{B\widehat AC = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ }$

cool geometry · #5

Φέρνω τις $OB,OC\Rightarrow \widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^{0}.$
$OA=2, OC=\sqrt{2}\Rightarrow \cos \widehat{OAC}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{OAC}=45^{0}(1)$
$OA=2, OB=\sqrt{3}\Rightarrow \cos \widehat{OAB}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{OAB}=60^{0}(2)$
$(1),(2)\Rightarrow \widehat{BAC}=15^{0}.$

Τρεις ομόκεντροι κύκλοι

Τρεις ομόκεντροι κύκλοι

Re: Τρεις ομόκεντροι κύκλοι

Re: Τρεις ομόκεντροι κύκλοι

Re: Τρεις ομόκεντροι κύκλοι

Re: Τρεις ομόκεντροι κύκλοι

Μέλη σε σύνδεση