Το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ΕΚΠ τους!

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1500
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ΕΚΠ τους!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Πέμ Μάιος 06, 2021 10:23 pm

α) Να βρείτε τρεις θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.

β) Να βρείτε 100 θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.

γ) Να βρείτε 2020 θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13365
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ΕΚΠ τους!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μάιος 06, 2021 10:54 pm

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:
Πέμ Μάιος 06, 2021 10:23 pm
α) Να βρείτε τρεις θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.

β) Να βρείτε 100 θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.

γ) Να βρείτε 2020 θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.
Για τρεις αριθμούς, οι 1,2,3 κάνουν την δουλειά.

Για μεγάλο N που δεν διαιρείται από τους 2,3 , οι N+2 αριθμοί

1,\,1,\, ...\,, 1 συνολικά Ν φορές και 2N, 3N κάνουν την δουλειά.


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 558
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ΕΚΠ τους!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Πέμ Μάιος 06, 2021 11:23 pm

Δεν είναι ειδικότερη περίπτωση της διοφαντικής

\sum_i^n x_{i}=\prod_1^n x_{i}

με x_{1}...x_{n} θετικούς ακεραίους :?:


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13365
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ΕΚΠ τους!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μάιος 06, 2021 11:28 pm

mick7 έγραψε:
Πέμ Μάιος 06, 2021 11:23 pm
Δεν είναι ειδικότερη περίπτωση της διοφαντικής

\sum_i^n x_{i}=\prod_1^n x_{i}

με x_{1}...x_{n} θετικούς ακεραίους :?:
Θα έλεγα ότι δεν είναι ειδική περίπτωση της εν λόγω Διοφαντικής. Άλλο γινόμενο και άλλο ΕΚΠ. Π.χ. για σταθερούς αριθμούς αριθμούς, το μεν ΕΚΠ είναι ο ίδιος ο σταθερός, αλλά το γινόμενο είναι μεγάλος αριθμός.


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 558
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ΕΚΠ τους!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Πέμ Μάιος 06, 2021 11:48 pm

Εάν απαιτήσουμε να είναι πρώτοι όμως μεταξύ τους νομίζω το ΕΚΠ ισούται με το γινόμενο τους.
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Μάιος 06, 2021 11:28 pm


Θα έλεγα ότι δεν είναι ειδική περίπτωση της εν λόγω Διοφαντικής. Άλλο γινόμενο και άλλο ΕΚΠ. Π.χ. για σταθερούς αριθμούς αριθμούς, το μεν ΕΚΠ είναι ο ίδιος ο σταθερός, αλλά το γινόμενο είναι μεγάλος αριθμός.


Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1500
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ΕΚΠ τους!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Σάβ Μάιος 08, 2021 8:10 pm

β) Να βρείτε 100 θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.

Θα προσπαθήσουμε να βρούμε 100 αριθμούς με ΕΚΠ το 210 και άθροισμα το 210.
(Γιατί διαλέξαμε το 210; Γιατί ξεπερνάνει το 100 και στην ανάλυσή του σε γινόμενο πρώτων παραγόντων εμφανίζονται ''μικροί'' πρώτοι.)
210=2\cdot 3\cdot 5 \cdot 7

Ξεκινάμε με τους 100 αριθμούς 1,1,...,1 (96 φορές),  2, 3, 5, 7 που έχουν ΕΚΠ το 210 αλλά το άθροισμά τους είναι 113. Αυτό διορθώνεται αν αλλάξουμε κάποιους άσσους με 2 ή με 3 ή με  5 ή με 7. Αυτές οι αλλαγές δεν θα επηρεάσουν το ΕΚΠ τους αλλά θα αυξήσουν το άθροισμά τους. Υπάρχουν τώρα πάρα πολλοί τρόποι να πετύχουμε το στόχο: ΑΘΡΟΙΣΜΑ 210.
210-113=97. Μας λείπουν 97 μονάδες.
Αν κάνουμε δυάρια όλους τους άσσους, θα έχουμε πιάσει το 209, μια μονάδα μακρυά από τον στόχο. Έναν άσσο λοιπόν ας τον κάνουμε τριάρι.
Άρα οι αριθμοί 2,2,...,2 (96 φορές), 3, 3, 5, 7 λύνουν το πρόβλημα.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13365
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ΕΚΠ τους!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μάιος 09, 2021 1:14 am

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:
Πέμ Μάιος 06, 2021 10:23 pm

β) Να βρείτε 100 θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.
Παραλλαγή αυτού που έγραψα παραπάνω καλύπτει και αυτή την περίπτωση.

Οι 100 αριθμοί είναι

200 (μία φορά)

300 (μία φορά)

1 (96 φορές)

2 (2 φορές)

Εδώ ΕΚΠ =600= άθροισμα


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13365
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ΕΚΠ τους!

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μάιος 09, 2021 1:47 am

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:
Πέμ Μάιος 06, 2021 10:23 pm

γ) Να βρείτε 2020 θετικούς ακέραιους αριθμούς με την ιδιότητα το άθροισμά τους να είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.
Και άλλη παραλλαγή.

Οι 2020 αριθμοί είναι οι

20000 (μία φορά)

30000 (μία φορά)

5 (1995 φορές)

2 (2 φορές)

1 (21 φορές)

Εδώ EKΠ =60000= άθροισμα


Απάντηση

Επιστροφή σε “B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης