Δύσκολη άσκηση

Henri van Aubel · #1

Έστω τραπέζιο $ABCD\left ( AB\parallel CD \right )$ με $B\widehat{A}D=60^\circ,AD=\sqrt{3},AB+CD=2\sqrt{3}.$ Έστω

το μέσο του τμήματος BC.

Να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος DM.

Πρόκειται για ωραία άσκηση καταλληλότερη για Β Λυκείου, αλλά για Β Γυμνασίου ίσως είναι λίγο δύσκολη. Μπορεί και όχι.

Έχω αμιγώς γεωμετρική λύση την οποία θα παραθέσω μετά , αν δεν έχει δοθεί η ίδια λύση.

#2

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 16, 2023 1:45 pm
Έστω τραπέζιο $ABCD\left ( AB\parallel CD \right )$ με $B\widehat{A}D=60^\circ,AD=\sqrt{3},AB+CD=2\sqrt{3}.$ Έστω το μέσο του τμήματος Να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος

Πρόκειται για ωραία άσκηση καταλληλότερη για Β Λυκείου, αλλά για Β Γυμνασίου ίσως είναι λίγο δύσκολη. Μπορεί και όχι.
Έχω αμιγώς γεωμετρική λύση την οποία θα παραθέσω μετά , αν δεν έχει δοθεί η ίδια λύση.

: Δύσκολη;.png (10.61 KiB) Προβλήθηκε 1186 φορές

Με

μέσο της

και

μέσο της

το τρίγωνο DPN

είναι ισόπλευρο αφού $\displaystyle NP = ND = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Άρα το DNM

είναι ορθογώνιο και $\boxed{DM=\frac{3}{2}}$

θα ήθελα να δω μία λύση ύλη Β Γυμνασίου.

Henri van Aubel · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 16, 2023 5:36 pm

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 16, 2023 1:45 pm
Έστω τραπέζιο $ABCD\left ( AB\parallel CD \right )$ με $B\widehat{A}D=60^\circ,AD=\sqrt{3},AB+CD=2\sqrt{3}.$ Έστω το μέσο του τμήματος Να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος

Πρόκειται για ωραία άσκηση καταλληλότερη για Β Λυκείου, αλλά για Β Γυμνασίου ίσως είναι λίγο δύσκολη. Μπορεί και όχι.
Έχω αμιγώς γεωμετρική λύση την οποία θα παραθέσω μετά , αν δεν έχει δοθεί η ίδια λύση.
Δύσκολη;.png
Με μέσο της και μέσο της το τρίγωνο είναι ισόπλευρο αφού $\displaystyle NP = ND = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Άρα το είναι ορθογώνιο και $\boxed{DM=\frac{3}{2}}$

θα ήθελα να δω μία λύση ύλη Β Γυμνασίου.

Ωραία λύση !

Εγώ έχω λύση στην οποία φέρνω το ύψος του τραπεζιού και κάνω πρώτο θεώρημα διαμέσων . Θα την γράψω μετά η αύριο .

STOPJOHN · #4

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 16, 2023 1:45 pm
Έστω τραπέζιο $ABCD\left ( AB\parallel CD \right )$ με $B\widehat{A}D=60^\circ,AD=\sqrt{3},AB+CD=2\sqrt{3}.$ Έστω το μέσο του τμήματος Να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος

Πρόκειται για ωραία άσκηση καταλληλότερη για Β Λυκείου, αλλά για Β Γυμνασίου ίσως είναι λίγο δύσκολη. Μπορεί και όχι.
Έχω αμιγώς γεωμετρική λύση την οποία θα παραθέσω μετά , αν δεν έχει δοθεί η ίδια λύση.

Στο ορθογωνιο τρίγωνο $ADT,AT=\dfrac{\sqrt{3}}{2},DT=\dfrac{3}{2},$ ακόμη $DC=BL, TL=AL-AT=\dfrac{3\sqrt{3}}{2},DM=MC,$

και από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο

$DTL,DM=\dfrac{3}{2}$

#5

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 16, 2023 1:45 pm
Έστω τραπέζιο $ABCD\left ( AB\parallel CD \right )$ με $B\widehat{A}D=60^\circ,AD=\sqrt{3},AB+CD=2\sqrt{3}.$ Έστω το μέσο του τμήματος Να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος

Πρόκειται για ωραία άσκηση καταλληλότερη για Β Λυκείου, αλλά για Β Γυμνασίου ίσως είναι λίγο δύσκολη. Μπορεί και όχι.
Έχω αμιγώς γεωμετρική λύση την οποία θα παραθέσω μετά , αν δεν έχει δοθεί η ίδια λύση.

Κατασκευή

Έστω ευθεία $\varepsilon$ και σημείο της

.

Γράφω τον κύκλο $\left( {A,\sqrt 3 } \right)$ και φέρνω από το

ημιευθεία που σχηματίζει με την, $\varepsilon$ γωνία $60^\circ$ και τον τέμνει στο

.

Από το

φέρνω παράλληλη ευθεία, $\varepsilon '$ στην $\varepsilon$ και τη μεσοπαράλληλη τους που τέμνει το

στο

.

Ο κύκλος $\left( {F,\sqrt 3 } \right)$ τέμνει ανατολικά την μεσοπαράλληλη αυτή στο σημείο

.

Έχω έτσι λοιπόν κατασκευάσει τρίγωνο , DFM

καθ’ όλα σταθερό :

$FD = k = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,,\,\,FM = 2k = \sqrt 3 \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {DFM} = \theta = 60^\circ$ . Αναγκαστικά $DF \bot DM$ και

: Δύσκολη άσκηση.png (23.42 KiB) Προβλήθηκε 1080 φορές

$\boxed{DM = \frac{{FM\sqrt 3 }}{2} = k\sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \sqrt 3 = \frac{3}{2}}$ .

( ύψος ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς FM = 2k

, ή με Π. Θ. ή τριγωνομετρικά)

Τώρα οπουδήποτε , ανατολικά του

, πάνω στην $\varepsilon '$ αν πάρω σημείο

και φέρω την ευθεία

,

θα κόψει την ευθεία $\varepsilon$ σε σημείο

και το τραπέζιο ABCD

θα έχει άθροισμα βάσεων AB + DC = 2FM = 4k = 2AD

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 16, 2023 1:45 pm
Έστω τραπέζιο $ABCD\left ( AB\parallel CD \right )$ με $B\widehat{A}D=60^\circ,AD=\sqrt{3},AB+CD=2\sqrt{3}.$ Έστω το μέσο του τμήματος Να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος

Πρόκειται για ωραία άσκηση καταλληλότερη για Β Λυκείου, αλλά για Β Γυμνασίου ίσως είναι λίγο δύσκολη. Μπορεί και όχι.
Έχω αμιγώς γεωμετρική λύση την οποία θα παραθέσω μετά , αν δεν έχει δοθεί η ίδια λύση.

Κατασκευάζουμε το ρόμβο DPZE

πλευράς $\sqrt{3}$ και γωνίας DPZ=120^0

κι έστω

συμμετρικό του

ως προς

Θεωρούμε τυχαίο σημείο

εσωτερικό του

και η

τέμνει την

στο

Το τραπέζιο ABCD

προφανώς ικανοποιεί τα δεδομένα του προβλήματος και με

μέσον της

θα είναι $MD=PN=\dfrac{3}{2}$ αφού το

είναι ύψος του ισόπλευρου τριγώνου ADP

: δύσκολη άσκηση.png (54.46 KiB) Προβλήθηκε 1009 φορές

Δύσκολη άσκηση

Δύσκολη άσκηση

Re: Δύσκολη άσκηση

Re: Δύσκολη άσκηση

Re: Δύσκολη άσκηση

Re: Δύσκολη άσκηση

Re: Δύσκολη άσκηση

Μέλη σε σύνδεση