Υπάρχει οξεία γωνία;

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3383
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Υπάρχει οξεία γωνία;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Φεβ 20, 2018 8:18 am

Είχαμε δει πριν καιρό με τα παιδιά την ακόλουθη άσκηση η οποία τους φάνηκε δύσκολη.

Έστω \alpha>\beta>0. Μπορεί να οριστεί οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου τέτοια ώστε
\displaystyle{\sin \varphi = \frac{2\alpha \beta}{\alpha^2+\beta^2}} Αν η απάντηση είναι καταφατική, τότε να υπολογιστεί και το \cos \varphi.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6725
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Υπάρχει οξεία γωνία;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Φεβ 20, 2018 9:29 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Φεβ 20, 2018 8:18 am
Είχαμε δει πριν καιρό με τα παιδιά την ακόλουθη άσκηση η οποία τους φάνηκε δύσκολη.

Έστω \alpha>\beta>0. Μπορεί να οριστεί οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου τέτοια ώστε
\displaystyle{\sin \varphi = \frac{2\alpha \beta}{\alpha^2+\beta^2}} Αν η απάντηση είναι καταφατική, τότε να υπολογιστεί και το \cos \varphi.
Η απάντηση είναι ΝΑΙ. Για παράδειγμα αν \displaystyle \alpha  = 2,\beta  = 1 τότε \displaystyle \sin \varphi  = \frac{4}{5} και η \displaystyle \varphi ορίζεται ως οξεία γωνία ορθογωνίου

τριγώνου με απέναντι πλευρά 4 και υποτείνουσα 5. Γενικά τώρα:

\displaystyle {\cos ^2}\varphi  = 1 - {\sin ^2}\varphi  = 1 - \frac{{4{\alpha ^2}{\beta ^2}}}{{{{({\alpha ^2} + {\beta ^2})}^2}}} = \frac{{{{({\alpha ^2} + {\beta ^2})}^2} - 4{\alpha ^2}{\beta ^2}}}{{{{({\alpha ^2} + {\beta ^2})}^2}}} = \frac{{{{({\alpha ^2} - {\beta ^2})}^2}}}{{{{({\alpha ^2} + {\beta ^2})}^2}}}

κι επειδή η γωνία είναι οξεία θα είναι \displaystyle \cos \varphi  = \frac{{{\alpha ^2} - {\beta ^2}}}{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}}


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3383
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Υπάρχει οξεία γωνία;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Φεβ 20, 2018 9:45 am

Επειδή η άσκηση ήταν στις ταυτότητες δόθηκε η εξής λύση:

Επειδή (\alpha-\beta)^2 \geq 0 τότε είναι \alpha^2+\beta^2 \geq 2\alpha \beta. Οπότε \displaystyle{0 \leq \frac{2\alpha \beta}{\alpha^2 + \beta^2} \leq 1}. Οπότε ο αριθμός αυτός είναι τριγωνομετρικός αριθμός ημιτόνου. Πιο συγκεκριμένα επειδή \alpha>\beta>0 οι ισότητες δε πιάνονται άρα ΝΑΙ υπάρχει οξεία γωνία με ημίτονο αυτόν τον αριθμό....

Και τα λοιπά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5748
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Υπάρχει οξεία γωνία;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Φεβ 20, 2018 11:09 am

Αφού a > b > 0 \Rightarrow 0 < \dfrac{b}{a} < 1 . Θέτω \dfrac{b}{a} = x \in (0,1) \Rightarrow b = ax . Έτσι

\sin \phi  = \dfrac{{2{a^2}x}}{{{a^2} + {a^2}{x^2}}} = \dfrac{{2x}}{{1 + {x^2}}} \leqslant 1 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} \geqslant 0 . Αλλά δεν μπορεί x = 1 οπότε :

\boxed{\sin \phi  = \dfrac{{2x}}{{1 + {x^2}}} \in (0,1)} . Καταφατική απάντηση .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6725
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Υπάρχει οξεία γωνία;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Φεβ 20, 2018 12:17 pm

Μια και είμαστε στις ταυτότητες, εύκολα διαπιστώνουμε ότι: \displaystyle {({\alpha ^2} + {\beta ^2})^2} = {(2\alpha \beta )^2} + {({\alpha ^2} - {\beta ^2})^2}
sinφ.png
sinφ.png (5.13 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές
Άρα οι \displaystyle {\alpha ^2} - {\beta ^2},2\alpha \beta ,{\alpha ^2} + {\beta ^2} είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα \displaystyle {\alpha ^2} + {\beta ^2}

Οπότε υπάρχει οξεία γωνία \varphi, ώστε \displaystyle \sin \varphi  = \frac{{2\alpha \beta }}{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}} και \displaystyle \cos \varphi  = \frac{{{\alpha ^2} - {\beta ^2}}}{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4025
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Υπάρχει οξεία γωνία;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Φεβ 20, 2018 8:06 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Φεβ 20, 2018 8:18 am
Είχαμε δει πριν καιρό με τα παιδιά την ακόλουθη άσκηση η οποία τους φάνηκε δύσκολη.

Έστω \alpha>\beta>0. Μπορεί να οριστεί οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου τέτοια ώστε
\displaystyle{\sin \varphi = \frac{2\alpha \beta}{\alpha^2+\beta^2}}
Καλησπέρα σε όλους.
Να πω κατ' αρχάς ότι κι εγώ έχω χρησιμοποιήσει παρόμοιες διατυπώσεις σε βιβλία για το Γυμνάσιο.

Κοιτώντας τις ξανά μού γεννιέται ο προβληματισμός: Πώς θα αντιδράσουμε σε (υποθετική) ερώτηση μαθητή: "Ξέρουμε ότι κάθε ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας είναι αριθμός θετικός μικρότερος του 1. Πώς όμως ξέρουμε ότι κάθε αριθμός x, με 0<x<1 είναι ημίτονο ή συνημίτονο κάποιας γωνίας;".

Στη Β΄ Λυκείου μπορεί να εξηγηθεί στον τριγωνομετρικό άξονα, δείχνοντας (εποπτικά έστω) την έννοια της συνέχειας στην αντιστοίχιση κάθε τόξου με την προβολή του στους άξονες. Στο Γυμνάσιο όμως πώς;


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 296
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Υπάρχει οξεία γωνία;

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τετ Φεβ 21, 2018 10:49 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Τρί Φεβ 20, 2018 8:06 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Φεβ 20, 2018 8:18 am
Είχαμε δει πριν καιρό με τα παιδιά την ακόλουθη άσκηση η οποία τους φάνηκε δύσκολη.

Έστω \alpha>\beta>0. Μπορεί να οριστεί οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου τέτοια ώστε
\displaystyle{\sin \varphi = \frac{2\alpha \beta}{\alpha^2+\beta^2}}
Καλησπέρα σε όλους.
Να πω κατ' αρχάς ότι κι εγώ έχω χρησιμοποιήσει παρόμοιες διατυπώσεις σε βιβλία για το Γυμνάσιο.

Κοιτώντας τις ξανά μού γεννιέται ο προβληματισμός: Πώς θα αντιδράσουμε σε (υποθετική) ερώτηση μαθητή: "Ξέρουμε ότι κάθε ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας είναι αριθμός θετικός μικρότερος του 1. Πώς όμως ξέρουμε ότι κάθε αριθμός x, με 0<x<1 είναι ημίτονο ή συνημίτονο κάποιας γωνίας;".

Στη Β΄ Λυκείου μπορεί να εξηγηθεί στον τριγωνομετρικό άξονα, δείχνοντας (εποπτικά έστω) την έννοια της συνέχειας στην αντιστοίχιση κάθε τόξου με την προβολή του στους άξονες. Στο Γυμνάσιο όμως πώς;
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια εξήγησης ...
Αφού ο x είναι ένας πραγματικός αριθμός μεταξύ του 0 και του 1, μπορούμε να υποθέσουμε
ότι υπάρχουν δύο θετικοί, πραγματικοί αριθμοί \beta , \gamma τέτοιοι ώστε: x=\dfrac{\beta }{\gamma } με \beta < \gamma ,
αφού το κλάσμα είναι μικρότερο της ακεραίας μονάδας.

Στη συνέχεια πάνω σε δύο κάθετους άξονες σχεδιάζουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα τέτοια ώστε:
AB= \gamma και A\Gamma = \beta , όπως στο σχήμα παρακάτω.
Υπάρχει οξεία γωνία;.png
Υπάρχει οξεία γωνία;.png (7.61 KiB) Προβλήθηκε 289 φορές
Από τα παραπάνω έχουμε : \eta \mu \varphi = \dfrac{\beta}{\alpha } , \sigma \upsilon \nu \varphi =\dfrac{\gamma }{\alpha } κλπ.
Δεν ξέρω αν βοηθάει ...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης