Ανεξάρτητη των α, β

Tolaso J Kos · #1

Αν $\alpha^2 + \beta^2=1$ τότε να βρεθεί η τιμή του $\lambda$ ώστε το πολυώνυμο

$\displaystyle{\mathrm{P}(x) = \alpha^6 + \beta^6 + \lambda \left( \alpha^4 + \beta^4 \right)}$

να είναι ανεξάρτητο των $\alpha, \beta$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 03, 2023 8:22 pm
Αν $\alpha^2 + \beta^2=1$ τότε να βρεθεί η τιμή του $\lambda$ ώστε το πολυώνυμο
$\displaystyle{\mathrm{P}(x) = \alpha^6 + \beta^6 + \lambda \left( \alpha^4 + \beta^4 \right)}$
να είναι ανεξάρτητο των $\alpha, \beta$ .

$\displaystyle {\rm{P}}(\alpha ,\beta ) = {\alpha ^6} + {\beta ^6} + \lambda \left( {{\alpha ^4} + {\beta ^4}} \right) = {\left( {{\alpha ^2}} \right)^3} + {\left( {{\beta ^2}} \right)^3} + \lambda \left( {{\alpha ^4} + {\beta ^4}} \right)$

$\displaystyle = \left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \right)\left( {{\alpha ^4} - {\alpha ^2}{\beta ^2} + {\beta ^4}} \right) + \lambda \left( {{\alpha ^4} + {\beta ^4}} \right) = \left( {{\alpha ^4} + {\beta ^4}} \right)\left( {\lambda + 1} \right) - {\alpha ^2}{\beta ^2}$

$\displaystyle = \left[ {{{\left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \right)}^2} - 2{\alpha ^2}{\beta ^2}} \right]\left( {\lambda + 1} \right) - {\alpha ^2}{\beta ^2} = \left( {1 - 2{\alpha ^2}{\beta ^2}} \right)\left( {\lambda + 1} \right) - {\alpha ^2}{\beta ^2}$

$\displaystyle = \lambda + 1 - \left( {2\lambda + 3} \right){\alpha ^2}{\beta ^2}$

Οπότε, ανν $\displaystyle \lambda = - \frac{3}{2}$ , $\displaystyle {\rm P}\left( {\alpha ,\beta } \right) = - \frac{1}{2}$ , σταθερό.

Θα την προτιμούσα σε φάκελο Β' Λυκείου, παρά Γ΄ Γυμνασίου.

edit: Προσθέτω ένα αρχείο Geogebra, στο οποίο έχω μετατρέψει το πολυώνυμο δύο μεταβλητών σε συνάρτηση μιας μεταβλητής και στο οποίο φαίνεται γραφικά η συμπεριφορά της συνάρτησης για τις διάφορες τιμές της μεταβλητής.

#3

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 03, 2023 9:22 pm

Θα την προτιμούσα σε φάκελο Β' Λυκείου, παρά Γ΄ Γυμνασίου.

Θα συμφωνήσω με τον Γιώργο Ρίζο και θα την αντιμετωπίσω ως άσκηση Β' Λυκείου.

Υπάρχει $x\in \mathbb{R,}$ ώστε $\displaystyle a = \sin x,b = \cos x$ και από γνωστή άσκηση του σχολικού είναι

$\displaystyle {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x,{\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x$

Έτσι, $\displaystyle P(x) = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x + \lambda \left( {1 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right) = \lambda + 1 - (2\lambda + 3){\sin ^2}x{\cos ^2}x$

απ' όπου $\boxed{\lambda = - \frac{3}{2}}$ ώστε το πολυώνυμο να είναι ανεξάρτητο του

άρα και των a,b).

Ανεξάρτητη των α, β

Ανεξάρτητη των α, β

Re: Ανεξάρτητη των α, β

Re: Ανεξάρτητη των α, β

Μέλη σε σύνδεση