Γεωμετρείν 55

Δημήτρης Μυρογιάννης · #1

Αφιερωμένο στο Νότη (που το ζήτησε) και περιμένουμε τη λύση του… περιμένουμε λύσεις μαθητών…

Έστω το παραλληλόγραμμο ABCD

και το μέσο

του τμήματος

.
Φέρουμε τις DE,AC

οι οποίες τέμνονται στο σημείο

.
Έστω σημείο

επί της

τέτοιο ώστε CF=3

.
Φέρουμε την

η οποία τέμνει την

στο σημείο

.
Αν επιπλέον ισχύει ότι DH=2AD

βρείτε το μήκος

του

.

: ΓΕΩΜΕΤΡΕΙΝ 55.PNG (44.18 KiB) Προβλήθηκε 927 φορές

ΝΟΤΗΣ ΚΟΥΤΣΙΚΑΣ · #2

Κύριε Δημήτρη, καλησπέρα σας και ευχαριστώ για την αφιέρωση

Θεωρούμε την $\displaystyle{BD}$ οπότε επειδή στο παραλληλόγραμμο $\displaystyle{ADCB}$ οι διαγώνιες διχοτομούνται το $\displaystyle{O}$ είναι το μέσο και της $\displaystyle{BD}$ .

Άρα στο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle BDC}$ το $\displaystyle{G}$ είναι το βαρύκεντρό του οπότε $\displaystyle{CG = \frac{2}{3}OC\mathop \Rightarrow \limits^{OC = \frac{{AC}}{2}} \boxed{CG = \frac{1}{3}AC} \Rightarrow \boxed{AG = \frac{2}{3}AC} \Rightarrow \ldots \boxed{\frac{{GC}}{{GA}} = \frac{1}{2}}:\left( 1 \right)}$

Στο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle ADC}$ με διατέμνουσα την $\displaystyle{HFG}$ από το Θεώρημα του Μενελάου ισχύει: $\displaystyle{\frac{{GC}}{{GA}} \cdot \frac{{HA}}{{HD}} \cdot \frac{{FD}}{{FC}} = 1\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right),\frac{{HA}}{{HD}} = \frac{3}{2}} \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{x}{3} = 1 \Rightarrow \frac{x}{4} = 1 \Rightarrow \boxed{x = 4}}$

Νότης

Δημήτρης Μυρογιάννης · #3

Νότη τα συγχαρητήρια είναι πολύ λίγα ....

Προεκτείνουμε τις CB,HG

έτσι ώστε να τμηθούν στο σημείο

.
Από τα όμοια τρίγωνα EGC,AGD

έχουμε:

$\doublebox{\frac{GE}{GD}=\frac{EC}{AD}=\frac{1}{2}}$

και αξιοποιώντας την προηγούμενη από τα όμοια τρίγωνα GEK,GDH

έχουμε:

$\doublebox{\frac{GE}{GD}=\frac{EK}{HD}=\frac{1}{2}\Rightarrow EK=CB}$ .

Τώρα από τα όμοια τρίγωνα DFH,KFC

(και αξιοποιώντας πάλι την προηγούμενη) έχουμε:

$\doublebox{\frac{x}{3}=\frac{DH}{KC}=\frac{4}{3}\Rightarrow x=4}$

: ΓΕΩΜΕΤΡΕΙΝ 55 ΛΥΣΗ.PNG (48.46 KiB) Προβλήθηκε 752 φορές

mathematica.gr

Γεωμετρείν 55

Γεωμετρείν 55

Re: Γεωμετρείν 55

Re: Γεωμετρείν 55

Μέλη σε σύνδεση