Διάμετροι και εφαπτόμενες

KARKAR · #1

: Διάμετροι και εφαπτόμενες.png (9.88 KiB) Προβλήθηκε 984 φορές

$\bigstar$ Τα τμήματα AS , BT

εφάπτονται στα δύο ημικύκλια . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{BT}$ .

( Προαιρετικό ) : Υπάρχει περίπτωση τα σημεία B , S , T

να είναι συνευθειακά ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 20, 2023 8:10 pm
Διάμετροι και εφαπτόμενες.png $\bigstar$ Τα τμήματα εφάπτονται στα δύο ημικύκλια . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{BT}$ .

( Προαιρετικό ) : Υπάρχει περίπτωση τα σημεία να είναι συνευθειακά ;

Έστω

τα κέντρα των ημικυκλίων και a=2R, b=2r.

: Διάμετροι και εφαπτόμενες.png (16.29 KiB) Προβλήθηκε 916 φορές

$\displaystyle \frac{{A{S^2}}}{{B{T^2}}} = \frac{{{{(2R + r)}^2} - {r^2}}}{{{{(2r + R)}^2} - {R^2}}} = \frac{{4R(R + r)}}{{4r(R + r)}} = \frac{R}{r} = \frac{a}{b} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{AS}{BT}=\sqrt{\frac{a}{b}}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 20, 2023 8:10 pm

( Προαιρετικό ) : Υπάρχει περίπτωση τα σημεία να είναι συνευθειακά ;

#4

rek2 έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 22, 2023 5:50 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 20, 2023 8:10 pm

( Προαιρετικό ) : Υπάρχει περίπτωση τα σημεία να είναι συνευθειακά ;

Έχω το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά η απόδειξή μου ξεφεύγει απ' το φάκελο.

#5

Για το προαιρετικό εκτός φακέλου.

Κρατάω από την πρώτη μου ανάρτηση (#2) ότι $AS=2\sqrt{R(R+r)}, BT=2\sqrt{r(R+r)}$

: Προαιρετικό.Κ.png (16.81 KiB) Προβλήθηκε 823 φορές

Με νόμο ημιτόνων στο ASB,

$\displaystyle \frac{{\sin B}}{{\sin (90^\circ + B)}} = \frac{{AS}}{{AB}} \Leftrightarrow \tan B = \frac{{\sqrt {R(R + r)} }}{{(R + r)}}$

Αλλά, $\displaystyle \tan B = \frac{{OT}}{{BT}} = \frac{R}{{2\sqrt {r(R + r)} }},$ οπότε $\displaystyle R(R + r) = 2(R + r)\sqrt {Rr} \Leftrightarrow {R^2} = 4Rr \Leftrightarrow$ $\boxed{R=4r}$

ΥΓ. Μετατρέπεται σε λύση εντός φακέλου αν, αντί για τριγωνομετρία, χρησιμοποιήσουμε

την ομοιότητα των τριγώνων καθώς και των

Διάμετροι και εφαπτόμενες

Διάμετροι και εφαπτόμενες

Re: Διάμετροι και εφαπτόμενες

Re: Διάμετροι και εφαπτόμενες

Re: Διάμετροι και εφαπτόμενες

Re: Διάμετροι και εφαπτόμενες

Μέλη σε σύνδεση