Όχι ρητές ρίζες

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\alpha, \beta, \gamma$ τρεις θετικοί περιττοί ακέραιοι. Δείξατε ότι η εξίσωση $\alpha x^2 + \beta x + \gamma =0$ δεν έχει ρητές ρίζες.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 15, 2018 9:46 am
Έστω $\alpha, \beta, \gamma$ τρεις θετικοί περιττοί ακέραιοι. Δείξατε ότι η εξίσωση $\alpha x^2 + \beta x + \gamma =0$ δεν έχει ρητές ρίζες.

Για να δούμε. Αν η εξίσωση έχει ρητές ρίζες τότε θα πρέπει η διακρίνουσα να είναι τετράγωνο περιττού αριθμού,

αφού ο $\displaystyle {\beta ^2}$ είναι περιττός και ο $\displaystyle 4\alpha \gamma$ άρτιος. Έστω $\displaystyle \beta = 2\kappa + 1.$ Τότε:

$\displaystyle {\beta ^2} - 4\alpha \gamma = {(2\mu + 1)^2} \Leftrightarrow$ $\displaystyle {(2\kappa + 1)^2} - {(2\mu + 1)^2} = 4\alpha \gamma \Leftrightarrow (\kappa - \mu )(\kappa + \mu + 1) = \alpha \gamma$

● Αν οι αριθμοί $\displaystyle \kappa ,\mu$ είναι άρτιοι ή περιττοί, τότε το $\displaystyle \kappa - \mu$ είναι άρτιος, ενώ το $\displaystyle \kappa + \mu + 1$ περιττός.

● Αν ένας από τους $\displaystyle \kappa ,\mu$ είναι άρτιος και ο άλλος περιττός τότε το $\displaystyle \kappa - \mu$ είναι περιττός, ενώ το $\displaystyle \kappa + \mu + 1$ άρτιος.

Σε κάθε περίπτωση λοιπόν, το γινόμενο $\displaystyle \alpha \gamma$ είναι άρτιος που είναι άτοπο, αφού οι $\displaystyle \alpha, \gamma$ είναι περιττοί. Άρα η εξίσωση δεν μπορεί να έχει ρητές ρίζες.

nikkru · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 15, 2018 9:46 am
Έστω $\alpha, \beta, \gamma$ τρεις θετικοί περιττοί ακέραιοι. Δείξατε ότι η εξίσωση $\alpha x^2 + \beta x + \gamma =0$ δεν έχει ρητές ρίζες.

Έστω ότι η δοσμένη εξίσωση έχει ρίζα τον μη μηδενικό ρητό $\frac{m}{n}$ , με $\frac{m}{n}$ ανάγωγο κλάσμα ( οπότε ένας τουλάχιστον από τους m,n

είναι περιττός ) .

Τότε $\alpha \left ( \frac{m}{n}\right )^2 + \beta \frac{m}{n} + \gamma =0 \Leftrightarrow \alpha m^2 + \beta mn + \gamma n^2 =0 (1)$ .

$\bullet$ αν m,n

περιττοί, τότε το πρώτο μέλος της (1)

περιττός, το δεύτερο άρτιος, άτοπο.

$\bullet$ αν μόνο ένας από τους m,n

περιττός, τότε το πρώτο μέλος της (1)

πάλι περιττός, το δεύτερο άρτιος, άτοπο.

Επομένως η εξίσωση δεν έχει ρητή ρίζα.

Όχι ρητές ρίζες

Όχι ρητές ρίζες

Re: Όχι ρητές ρίζες

Re: Όχι ρητές ρίζες

Μέλη σε σύνδεση