Η πιθανότητα με ένα ζάρι

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Ο Μάνος έχει ευρώ και ο Δημήτρης ευρώ, με και θετικός ακέραιος
Αποφάσισαν να παίξουν ένα παιχνίδι, ρίχνοντας εναλλάξ ένα ζάρι, με την συμφωνία να δίνει ο ένας στον άλλο
τόσα ευρώ, όσα δείχνει το ζάρι που έριξε. (Π.χ αν το ζάρι που θα ρίξει ο Μάνος δείξει , τότε θα δώσει στον Δημήτρη ευρώ)
Το παιχνίδι θα τελειώσει, όταν κάποιος ρίχνοντας το ζάρι, φέρει ένδειξη μεγαλύτερη ή ίση από το ποσόν που κατέχει την στιγμή εκείνη
Να βρεθεί η πιθανότητα να τελειώσει το παιχνίδι με τον ελάχιστο δυνατό αριθμό ρίψεων του ζαριού, όταν

(α)

(b)

[Demetres]

Ο Μάνος έχει ευρώ και ο Δημήτρης ευρώ, με και θετικός ακέραιος
Αποφάσισαν να παίξουν ένα παιχνίδι, ρίχνοντας εναλλάξ ένα ζάρι, με την συμφωνία να δίνει ο ένας στον άλλο
τόσα ευρώ, όσα δείχνει το ζάρι που έριξε. (Π.χ αν το ζάρι που θα ρίξει ο Μάνος δείξει , τότε θα δώσει στον Δημήτρη ευρώ)
Το παιχνίδι θα τελειώσει, όταν κάποιος ρίχνοντας το ζάρι, φέρει ένδειξη μεγαλύτερη ή ίση από το ποσόν που κατέχει την στιγμή εκείνη
Να βρεθεί η πιθανότητα να τελειώσει το παιχνίδι με τον ελάχιστο δυνατό αριθμό ρίψεων του ζαριού, όταν

(α)

(b)

(α) Μπορεί το παιγνίδι να τελειώσει σε 5 κινήσεις και αυτό μόνο όταν στις 3 ρίψεις του Μάνου έρχεται 6 και στις δυο ρίψεις του Δημήτρη έρχεται 1. Η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι .

(β) Πάλι μπορεί το παιγνίδι να τελειώσει σε 5 κινήσεις αλλά επιτρέπεται επιπλέον σε πολύ μία ρίψη του Μάνου να έχουμε 5 ή σε πολύ μία ρίψη του Δημήτρη να έχουμε 2. Είναι λίγες οι περιπτώσεις ώστε να μπορούμε να τις καταγράψουμε (αντί να χρησιμοποιήσουμε κάποιο συνδυαστικό τρόπο για να τις μετρήσουμε). Είναι οι






Άρα η πιθανότητα είναι .