Εκ συστήματος

KARKAR · #1

Να λυθεί το σύστημα : $\begin{matrix} x+y-\sqrt{x-y} & =22\\ & \\ x-y-\sqrt{x+y}&=4 \end{matrix}$

Nikitas K. · #2

$p:=\sqrt{x+y},~q:=\sqrt{x-y}$

$\begin{matrix} p^2-q=22~~~(1) \\ q^2-p=4~~~(2) \end{matrix}$

Η σχέση (2)

γίνεται

Η σχέση

λόγω της σχέσης (3)

γίνεται
$(q^2-4)^2-q=22\Leftrightarrow q^4-8q^2+16-q=22$
$\Leftrightarrow q^4-8q^2-q-6=0$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Εφαρμόζοντας σχήμα Horner με προφανή ρίζα το

ή πολυωνυμική διαίρεση με το q-3

ή την παρακάτω διαδικασία παραγοντοποίησης:
t:=q-3

$q^2(q^2-8)-t-9=0\Leftrightarrow tq^2(q+3)-t+q^2-9=0$
$\Leftrightarrow tq^2(q+3)-t+t(q+3)=0\Leftrightarrow t(q^2(q+3)-1+q+3)=0$
$\Leftrightarrow t(q^2(q+3)+q+2)=0$

λαμβάνοντας
(q-3)(q^3+3q^2+q+2)=0

Ισχύει ότι: q^3+3q^2+q+2>0

(διότι είναι τουλάχιστον 2).
Επομένως q-3=0

επιλύοντας το παρακάτω σύστημα:

$\begin{matrix} q=3 \\ p=5 \end{matrix}$

Υψώνοντας στο τετράγωνο:
$\begin{matrix} x-y=9 \\ x+y=25 \end{matrix}$

Προσθέτοντας κατά μέλη:
2x=34

Προκύπτουν οι λύσεις του αρχικού συστήματος (x,y)=(17,8)

.

#3

Αλλιώς για τη λύση της εξίσωσης $\displaystyle {q^4} - 8{q^2} - q - 6 = 0$

$\displaystyle {q^4} - 9{q^2} + {q^2} - q - 6 = 0 \Leftrightarrow {q^2}(q - 3)(q + 3) + (q - 3)(q + 2) = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle (q - 3)\left( {{q^2}(q + 3) + (q + 2)} \right) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{q \geqslant 0} q = 3,$ κλπ.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 06, 2024 8:06 pm
Να λυθεί το σύστημα : $\begin{matrix} x+y-\sqrt{x-y} & =22\\ & \\ x-y-\sqrt{x+y}&=4 \end{matrix}$

Χριστός Ανέστη .

Το «τσακάλι των Αγράφων» κάτι άλλο είχε στο μυαλό του !

Για δείτε το με Πυθαγόρειες Τριάδες . ( Γ γυμνασίου γάρ)

Εκ συστήματος

Εκ συστήματος

Re: Εκ συστήματος

Re: Εκ συστήματος

Re: Εκ συστήματος

Μέλη σε σύνδεση