Αρχιμήδης έφα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11289
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Αρχιμήδης έφα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 04, 2017 10:32 pm

Με αφορμή το ποστ εδώ συμπληρώστε το μικρό κενό στην απόδειξη του εξής που αφήνει ασχολίαστο ο Αρχιμήδης στο Θεώρημα 2 του Περί Λημμάτων του.

Αν ABC ορογώνιο τρίγωνο και M σημείο της υποτείνουσας BC τέτοιο ώστε MA=MB, δείξτε ότι το M είναι το μέσον της BC.

Ζητώ τουλάχιστον τρεις ΠΟΛΥ ΑΠΛΕΣ αποδείξεις. Ό,τι είναι παραπάνω από δυο τρεις γραμμές, δεν είναι του ... ύφους Αρχιμήδη.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 944
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Αρχιμήδης έφα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Τετ Ιαν 04, 2017 10:50 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:Με αφορμή το ποστ εδώ συμπληρώστε το μικρό κενό στην απόδειξη του εξής που αφήνει ασχολίαστο ο Αρχιμήδης στο Θεώρημα 2 του Περί Λημμάτων του.

Αν ABC ορογώνιο τρίγωνο και M σημείο της υποτείνουσας BC τέτοιο ώστε MA=MB, δείξτε ότι το M είναι το μέσον της BC.

Ζητώ τουλάχιστον τρεις ΠΟΛΥ ΑΠΛΕΣ αποδείξεις. Ό,τι είναι παραπάνω από δυο τρεις γραμμές, δεν είναι του ... ύφους Αρχιμήδη.
Χωρίς λόγια
Συνημμένα
Αυτός εφα.png
Αυτός εφα.png (18.03 KiB) Προβλήθηκε 1074 φορές


Ηλίας Καμπελής
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2626
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Αρχιμήδης έφα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τετ Ιαν 04, 2017 10:50 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:Με αφορμή το ποστ εδώ συμπληρώστε το μικρό κενό στην απόδειξη του εξής που αφήνει ασχολίαστο ο Αρχιμήδης στο Θεώρημα 2 του Περί Λημμάτων του.

Αν ABC ορογώνιο τρίγωνο και M σημείο της υποτείνουσας BC τέτοιο ώστε MA=MB, δείξτε ότι το M είναι το μέσον της BC.

Ζητώ τουλάχιστον τρεις ΠΟΛΥ ΑΠΛΕΣ αποδείξεις. Ό,τι είναι παραπάνω από δυο τρεις γραμμές, δεν είναι του ... ύφους Αρχιμήδη.
Αφού MA=MB, το M είναι το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του AB με την υποτείνουσα BC. Η μεσοκάθετος του τμήματος AB διέρχεται από το μέσο του AB και είναι παράλληλη στην πλευρά AC, κι άρα θα διέρχεται από το μέσο της BC. Συνεπώς, το M είναι το μέσο της BC.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 793
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Αρχιμήδης έφα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Ιαν 04, 2017 10:53 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:Με αφορμή το ποστ εδώ συμπληρώστε το μικρό κενό στην απόδειξη του εξής που αφήνει ασχολίαστο ο Αρχιμήδης στο Θεώρημα 2 του Περί Λημμάτων του.

Αν ABC ορογώνιο τρίγωνο και M σημείο της υποτείνουσας BC τέτοιο ώστε MA=MB, δείξτε ότι το M είναι το μέσον της BC.

Ζητώ τουλάχιστον τρεις ΠΟΛΥ ΑΠΛΕΣ αποδείξεις. Ό,τι είναι παραπάνω από δυο τρεις γραμμές, δεν είναι του ... ύφους Αρχιμήδη.
Προκύπτει ότι \widehat{ABM}=\widehat{BAM}. Επειδή όμως οι γωνία \widehat{ABM} είναι συμπληρωματική της \widehat{ACM} και η \widehat{BAM} είναι συμπληρωματική της \widehat{MAC}, άρα \widehat{ACM}=\widehat{MAC}. Επομένως MC=MA=MB και άρα M το μέσο της υποτείνουσας.
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Τετ Ιαν 04, 2017 10:57 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Houston, we have a problem!
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11289
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Αρχιμήδης έφα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 04, 2017 10:56 pm

Η απόδειξη του Ηλία/Διονύση και αυτή του Αχιλλέα είναι οι δύο από τις τρεις που είχα κατά νου. Μένει άλλη μία εξίσου απλή.


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 944
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Αρχιμήδης έφα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Τετ Ιαν 04, 2017 11:05 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:Με αφορμή το ποστ εδώ συμπληρώστε το μικρό κενό στην απόδειξη του εξής που αφήνει ασχολίαστο ο Αρχιμήδης στο Θεώρημα 2 του Περί Λημμάτων του.

Αν ABC ορογώνιο τρίγωνο και M σημείο της υποτείνουσας BC τέτοιο ώστε MA=MB, δείξτε ότι το M είναι το μέσον της BC.

Ζητώ τουλάχιστον τρεις ΠΟΛΥ ΑΠΛΕΣ αποδείξεις. Ό,τι είναι παραπάνω από δυο τρεις γραμμές, δεν είναι του ... ύφους Αρχιμήδη.
Δεν ξέρω αν κάνει για τον φάκελο…

Αν N το μέσο της BC το τρίγωνο ANB είναι ισοσκελές οπότε \widehat {NAB} = \widehat B = \widehat {MAB}

από το ισοσκελές τρίγωνο ABM .
Άρα το N ταυτίζεται με το M


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6620
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αρχιμήδης έφα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιαν 04, 2017 11:38 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:Με αφορμή το ποστ εδώ συμπληρώστε το μικρό κενό στην απόδειξη του εξής που αφήνει ασχολίαστο ο Αρχιμήδης στο Θεώρημα 2 του Περί Λημμάτων του.

Αν ABC ορογώνιο τρίγωνο και M σημείο της υποτείνουσας BC τέτοιο ώστε MA=MB, δείξτε ότι το M είναι το μέσον της BC.

Ζητώ τουλάχιστον τρεις ΠΟΛΥ ΑΠΛΕΣ αποδείξεις. Ό,τι είναι παραπάνω από δυο τρεις γραμμές, δεν είναι του ... ύφους Αρχιμήδη.

Αν και νομίζω λέω ότι και ο Αχιλλέας.
Αρχιμήδης  εφα.png
Αρχιμήδης εφα.png (13.81 KiB) Προβλήθηκε 1025 φορές
Έστω ημικύκλιο διαμέτρου BC και τυχαία χορδή του AA'. Το μόνο σημείο της BC

που ισαπέχει των A,A' είναι το μέσο της γιατί αλλιώτικα θα είχαμε δύο κάθετες στο μέσο της χορδής AA' .

Άρα και στην περίπτωσή μας το M μέσο του BC.

Φιλικά, Νίκος


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2512
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Αρχιμήδης έφα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιαν 05, 2017 12:20 am

Εστω D το μέσο της AB
Επειδή το τρίγωνο MAB ισοσκελές η MD είναι κάθετη στην AB οπότε παράλληλη στην AC.
Αρα από τις παράλληλες έχουμε \angle MCA=\angle DMB,\angle CAM=\angle AMD
Επειδή η MD είναι και διχοτόμος οι προηγούμενες δίνουν ότι το τρίγωνο CMA
είναι ισοσκελές,οπότε άμεσα προκύπτει το ζητούμενο.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11289
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Αρχιμήδης έφα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 05, 2017 12:55 am

Και άλλη μία.

Έστω N το μέσον της BC. Αν δεν συνέπιπτε με το M θα ήταν είτε χαμηλότερα (βλέπε σχήμα) είτε ψηλότερα. Στην πρώτη περίπτωση \displaystyle{AM=MB=MN+NB=MN+AN > AM}. Άτοπο. Όμοια αν το N είναι ψηλότερα.
Συνημμένα
Arhim.png
Arhim.png (4.67 KiB) Προβλήθηκε 995 φορές


nikkru
Δημοσιεύσεις: 338
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Αρχιμήδης έφα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Πέμ Ιαν 05, 2017 12:13 pm

Ας προσθέσω άλλη μία.

Ο Κύκλος κέντρου M και ακτίνας R=MA=MB, τέμνει την BC στο N . Τότε \widehat {NAB}=90^{o}
Όμως υπάρχει μοναδική κάθετη στην AB στο A άρα N\equiv C, δηλαδή MC=MB=R.
Αρχιμήδης έφα.png
Αρχιμήδης έφα.png (9.42 KiB) Προβλήθηκε 918 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης