ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ρωσικής Ολυμπιάδος

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 557
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ρωσικής Ολυμπιάδος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Σάβ Μαρ 11, 2017 9:01 pm

ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ρωσικής Ολυμπιάδος (турнирй городов) για μαθητές 3ης Γυμνασίου.

Ένας καθηγητής τοποθετεί 6 χαρτάκια σε δύο κουτιά, τρία χαρτάκια σε κάθε κουτί. Σε κάθε χαρτάκι είναι γραμμένος ένας θετικός πραγματικός αριθμός. Όλοι οι αριθμοί είναι διαφορετικοί. Οι αριθμοί του ενός κουτιού αποτελούν τα αθροίσματα ανά δύο τριών αριθμών \alpha,\beta,\gamma, γνωστών μόνο στον καθηγητή, δηλ. \alpha+\beta,\beta+\gamma,\gamma+\alpha, ενώ οι αριθμοί του άλλου κουτιού αποτελούν τα γινόμενα ανά δύο των ιδίων αριθμών, δηλ. \alpha\beta,\beta\gamma,\gamma\alpha. Βλέπουμε τους 6 αριθμούς, στα δύο κουτιά, αλλά δεν γνωρίζουμε ποιό κουτί περιέχει τα αθροίσματα και ποιο τα γινόμενα. Μπορούμε να βρούμε ποιοί είναι οι αρχικοί αριθμοί \alpha,\beta και \gamma;

Σημείωση. Αν ξέραμε ποιό κουτί έχει τα αθροίσματα, τότε από τις τιμές των \alpha+\beta,\beta+\gamma,\gamma+\alpha μπορούμε (3η Γυμνασίου) πολύ εύκολα να βρούμε τα \alpha,\beta και \gamma. Παρομοίως, αν ξέραμε τις τιμές των \alpha\beta,\beta\gamma και \gamma\alpha, πάλι μπορούμε πολύ εύκολα να βρούμε τα \alpha,\beta και \gamma. Το θέμα είναι ότι δεν γνωρίζουμε ποιό κουτί έχει τα αθροίσματα και ποιό τα γινόμενα.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8449
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ρωσικής Ολυμπιάδος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μαρ 11, 2017 10:24 pm

Γιώργο, σε χάσαμε.

Έστω a < b < c. Τότε είναι a+b < a+c < b+c και ab < ac < bc. Αν λοιπόν προσθέσω τον μεγαλύτερο αριθμό από το πρώτο κουτί και τον μεγαλύτερο από το δεύτερο θα πάρω bc+b+c. Οπότε γνωρίζω και τον αριθμό (b+1)(c+1) = bc+b+c+1. Ομοίως γνωρίζω και τους αριθμούς (a+1)(b+1) και (a+1)(c+1).

Τώρα είναι εύκολο να βρω τους a,b,c. [Π.χ. αν x=(b+1)(c+1),y=(a+1)(b+1) και z = (c+1)(a+1) τότε είναι a = \sqrt{yz/x}-1 κ.τ.λ.]


Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 557
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Re: ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ρωσικής Ολυμπιάδος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Κυρ Μαρ 12, 2017 10:43 pm

Σωστά!

Γενικά, τα προβλήματα των Ρωσικών Ολυμπιάδων έχουν σύντομες (σχεδόν πάντα) και έξυπνες λύσεις.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες