Μέσος Όρος Ηλικίας

Κατερινόπουλος Νικόλας · #1

Σε ένα Γυμνάσιο εργάζονται

καθηγητές και ο διευθυντής. Ο μέσος όρος ηλικίας των καθηγητών μαζί με τον διευθυντή είναι

κατά

μήνες μεγαλύτερος από το μέσο όρο και των καθηγητών. Κατά πόσα χρόνια είναι μεγαλύτερη η ηλικία του διευθυντή από

το μέσο όρο και των εικοσιτριών αυτών εκπαιδευτικών του Γυμνασίου αυτού;

Για μαθητές μέχρι 12/6.

#2

Προκαλώ τους μαθητές μας να δώσουν (εκτός της αλγεβρικής λύσης) και λύση με πρακτική αριθμητική.

Έχω στο νου μου μια λύση μισής γραμμής. (Εντάξει, με μικρά γράμματα εννοώ...).

Θα χαρώ να την αναρτήσει πρώτος κάποιος μαθητής.

Μόλις σημάνει μεσάνυχτα, ας εμπλακουν κι οι γηραιότεροι...

TasosBat · #3

Έστω

η ηλικία του διευθυντή και

το άθροισμα των ηλικιών των 22 καθηγητών. Τότε πρέπει:

$\displaystyle{ \frac{a+b}{23} = \frac{b}{22} + 6 \iff \frac{a}{23} = \frac{b}{22 \cdot 23}+6 \iff a = \frac{b}{22}+138.}$

Άρα:

$\displaystyle{ \frac{a+b}{23} = \frac{\frac{b}{22} + 138 + b}{23} = \frac{\frac{23b}{22}+138}{23} = \frac{b}{22}+6}$

$\displaystyle{ \iff \frac{a+b}{23} = a - 138 + 6 = a-132 \iff a = \frac{a+b}{23} + 132.}$

Δηλαδή η ηλικία του διευθυντή είναι μεγαλύτερη από τον μέσο όρο των ηλικιών και των

καθηγητών κατά 132

μήνες, ή αλλιώς

χρόνια.

~Τάσος

#4

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Προκαλώ τους μαθητές μας να δώσουν (εκτός της αλγεβρικής λύσης) και λύση με πρακτική αριθμητική.

Έχω στο νου μου μια λύση μισής γραμμής. (Εντάξει, με μικρά γράμματα εννοώ...).

Δεν ξέρω τι έχει στο μυαλό του ο Γιώργος αλλά ας δούμε το πιο κάτω:

Αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε κάποια χρόνια σε όλους τους καθηγητές τότε η διαφορά των μέσων όρων δεν αλλάζει. Μπορώ λοιπόν να υποθέσω ότι ο μέσος όρος ηλικίας των

καθηγητών είναι

. Ο μέσος όρος των καθηγητών μαζί με τον διευθυντή πρέπει να είναι 0.5

έτη άρα ο διευθυντής έχει ηλικία $23 \times 0.5 = 11.5$ έτη. Αυτή είναι και η διαφορά της ηλικίας του διευθυντή από τον μέσο όρο των

καθηγητών.

#5

Αναρτώ την απάντησή μου, όπως την είχα γράψει και, όπως θα δείτε είναι όντως η σκέψη που έκανε ο Δημήτρης .

Στο μαγικό μαθηματικό σχολείο μας οι καθηγητές είναι

ετών.

Οπότε το $\displaystyle \frac{1}{{23}}$ της ηλικίας του διευθυντή είναι $\displaystyle \frac{1}{2}$ χρόνος, άρα ο διευθυντής είναι 11,5

ετών.

Σε 56,5

χρόνια από σήμερα θα πάρει και σύνταξη!

Αλγεβρική λύση: Έστω $\displaystyle \sum x$ η αθροιστική ηλικία των καθηγητών και

η ηλικία του διευθυντή, οπότε $\displaystyle \frac{{\sum x + y}}{{23}} = \frac{{\sum x }}{{22}} + \frac{1}{2} \Leftrightarrow 22\sum x + 22y = 23\sum x + 253 \Leftrightarrow y = \frac{{\sum x }}{{22}} + \frac{{23}}{2}$ άρα ο διευθυντής είναι 11,5

έτη μεγαλύτερος από το μέσο όρων των υπολοίπων καθηγητών, άρα

έτη πιο μεγάλος από τον συνολικό Μ.Ο.

edit: Οφείλω, βεβαίως, να παρατηρήσω ότι η Στατιστική ΔΕΝ είναι ύλη της Γ΄ Γυμνασίου. Στο Γυμνάσιο διδάσκεται (ή καλύτερα περιέχεται στο βιβλίο της) Β΄ Γυμνασίου. Η παραπάνω άσκηση περισσότερο πλησιάζει στην ύλη των Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ΄ Λυκείου. Τέλος πάντων, ας την εκλάβουμε ως πρόβλημα που οδηγει σε επίλυση συστήματος.

edit 2: Ευχαριστώ τον Δημήτρη που (πρόλαβε και) διόρθωσε τον κώδικα Latex του Τάσου (;) (TasosBat)

Μέσος Όρος Ηλικίας

Μέσος Όρος Ηλικίας

Re: Μέσος Όρος Ηλικίας

Re: Μέσος Όρος Ηλικίας

Re: Μέσος Όρος Ηλικίας

Re: Μέσος Όρος Ηλικίας

Μέλη σε σύνδεση