Πώς θα το δικαιολογούσατε;

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4328
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Πώς θα το δικαιολογούσατε;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Αύγ 13, 2017 7:59 am

Πώς θα δικαιολογούσατε σε ένα μαθητή της Γ' Γυμνασίου ότι η παράσταση \alpha^2 + \beta^2 όπου \alpha, \beta \in \mathbb{R} δε μπορεί να παραγοντοποιηθεί πάνω από τον \mathbb{R} !!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Πώς θα το δικαιολογούσατε;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Κυρ Αύγ 13, 2017 8:34 am

Καλημέρα. Ένας τρόπος είναι να δούμε την παράσταση ως τριώνυμο του \displaystyle{a} (οι συντελεστές είναι : \displaystyle{1,0,\beta^2}).

Τότε η διακρίνουσα είναι : \displaystyle{\Delta=0^2-4\cdot 1\cdot \beta^2=-4\beta^2\leq 0}.

Επομένως, αν \displaystyle{\beta\ne 0} έχουμε \displaystyle{\Delta<0} άρα το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9378
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πώς θα το δικαιολογούσατε;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Αύγ 13, 2017 8:44 am

Καλημέρα!

Νομίζω ότι δεν μπορούμε να το δικαιολογήσουμε. Αυτό που γράφει ο Γιώργος είναι μια λύση που δεν μας καλύπτει γιατί καταλήγουμε σε φαύλο κύκλο. Όταν \Delta<0 το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται επειδή ακριβώς μετατρέπεται σε άθροισμα τετραγώνων. Αυτό όμως είναι που ζητάμε τελικά.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4328
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Πώς θα το δικαιολογούσατε;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Αύγ 13, 2017 9:02 am

Καλημέρα σας. Το τριώνυμο και η επίλυση αυτού βρίσκεται στη παράγραφο 2.2 \; {\rm B} συνεπώς δε μπορώ να το επικαλεστώ στην ενότητα των ταυτοτήτων που είναι στην 1.5. Αλλά και αλλιώς να ήταν θα κάναμε φαύλο κύκλο όπως λέει και ο Γιώργος.

Πάμε σε κάτι άλλο τώρα. Αφού δέχθηκε ο μαθητής ότι όντως η παράσταση \alpha^2 + \beta^2 με \alpha, \beta \in \mathbb{R} δε γράφεται ως γινόμενο παραγόντων, τι θα απαντάσουμε σε ενδεχόμενη ερώτηση:
Γιατί η ταυτότητα Lagrange
\displaystyle{\left( \alpha^2 + \beta^2 \right) \left(x^2 + y^2 \right) = \left( \alpha x + \beta y \right)^2 +  \left( \alpha y - \beta x \right)^2} γράφεται ως γινόμενο δύο παραγόντων ; Tι διαφορά έχει με το πάνω;
Η ταυτότητα Lagrange αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο σελίδα 47 ως εφαρμογή.
Ίσως τελικά να μη χρειάζεται να βάλουμε έναν μαθητή της Γ' Γυμνασίου σε τέτοια ( βαθιά κατ' εμέ) νερά και απλά να αφήσουμε τα πράγματα να κυλήσουν ήρεμα και να μην τους βομβαρδίσουμε με βαριά πράματα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Πώς θα το δικαιολογούσατε;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Κυρ Αύγ 13, 2017 9:24 am

george visvikis έγραψε:Καλημέρα!

Νομίζω ότι δεν μπορούμε να το δικαιολογήσουμε. Αυτό που γράφει ο Γιώργος είναι μια λύση που δεν μας καλύπτει γιατί καταλήγουμε σε φαύλο κύκλο. Όταν \Delta<0 το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται επειδή ακριβώς μετατρέπεται σε άθροισμα τετραγώνων. Αυτό όμως είναι που ζητάμε τελικά.
Tolaso J Kos έγραψε:Καλημέρα σας. Το τριώνυμο και η επίλυση αυτού βρίσκεται στη παράγραφο 2.2 \; {\rm B} συνεπώς δε μπορώ να το επικαλεστώ στην ενότητα των ταυτοτήτων που είναι στην 1.5. Αλλά και αλλιώς να ήταν θα κάναμε φαύλο κύκλο όπως λέει και ο Γιώργος.
Έχετε δίκιο!


Γιώργος
Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 291
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Πώς θα το δικαιολογούσατε;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Κυρ Αύγ 13, 2017 5:50 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Πώς θα δικαιολογούσατε σε ένα μαθητή της Γ' Γυμνασίου ότι η παράσταση \alpha^2 + \beta^2 όπου \alpha, \beta \in \mathbb{R} δε μπορεί να παραγοντοποιηθεί πάνω από τον \mathbb{R} !!

a^2 +b^2 = (|a|+|b|-\sqrt{2|ab|}) \cdot (|a|+|b|+\sqrt{2|ab|})


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3075
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πώς θα το δικαιολογούσατε;

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Αύγ 13, 2017 6:06 pm

NIZ έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:Πώς θα δικαιολογούσατε σε ένα μαθητή της Γ' Γυμνασίου ότι η παράσταση \alpha^2 + \beta^2 όπου \alpha, \beta \in \mathbb{R} δε μπορεί να παραγοντοποιηθεί πάνω από τον \mathbb{R} !!

a^2 +b^2 = (|a|+|b|-\sqrt{2|ab|}) \cdot (|a|+|b|+\sqrt{2|ab|})
καλοοοοο!


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Πώς θα το δικαιολογούσατε;

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Κυρ Αύγ 13, 2017 7:47 pm

NIZ έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:Πώς θα δικαιολογούσατε σε ένα μαθητή της Γ' Γυμνασίου ότι η παράσταση \alpha^2 + \beta^2 όπου \alpha, \beta \in \mathbb{R} δε μπορεί να παραγοντοποιηθεί πάνω από τον \mathbb{R} !!

a^2 +b^2 = (|a|+|b|-\sqrt{2|ab|}) \cdot (|a|+|b|+\sqrt{2|ab|})
:clap2:


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1147
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Πώς θα το δικαιολογούσατε;

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Σεπ 03, 2017 1:47 pm

Tolaso J Kos έγραψε:Πώς θα δικαιολογούσατε σε ένα μαθητή της Γ' Γυμνασίου ότι η παράσταση \alpha^2 + \beta^2 όπου \alpha, \beta \in \mathbb{R} δε μπορεί να παραγοντοποιηθεί πάνω από τον \mathbb{R} !!
Το παραπάνω ερώτημα φάντάζομαι υπονοεί να παραγονοποιηθεί η παράσταση σε πολυώνυμα.

Έστω ότι το πολυώνυμο P(a,b) = a^2+b^2 παραγονποιείται σε πολυώνυμα κατά μη τετριμμένο τρόπο. Τότε θα πρέπει να έχει την μορφή

P(a,b) = a^2+b^2= (ka+lb)(ma+nb), για κάποια k,l,m,n \in \mathbb{R}

με k,l να μην είναι ταυτόχρονα και τα δύο μηδέν καθώς και m,n να μην είναι και τα δυο μηδέν. Εξετάζουμε την εξίσωση

P(a,b) = (ka+lb)(ma+nb) = 0

η οποία έχει λύσεις αν ka+lb = 0 ή ma+nb=0. Αφού τα k,l δεν είναι και τα δυο μηδέν, έστω το l \neq 
 0, τότε θα είναι ka+lb = 0 \Rightarrow b = -\dfrac{k}{l}a.

Δηλαδή υπάρχουν άπειρες λύσεις της εξίσωσης P(a,b) = 0 (τα σημεία της ευθείας y = -\dfrac{k}{l}x). Ομοίως και για τον παράγοντα ma+nb. Από την στιγμή που τα a^2+b^2 και (ka+lb)(ma+nb) είναι ταυτοτικά ίσα θα πρέπει να έχουν και το ίδιο σύνολο λύσεων. Όμως η εξίσωση a^2+b^2 = 0 \Leftrightarrow  a=0, b=0 έχει μοναδική λύση και έτσι καταλήγουμε σε άτοπο. Άρα δεν υπάρχει τέτοιας μορφής παραγοντοποίηση.

Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι δεν υπάρχει παραγοντοποίηση ούτε της μορφής kab(la+mb). Ολοκληρώνοντας έτσι τις μη τετριμμένες περιπτώσεις.

Βέβαια ως "γνωστόν" κάθε πολυώνυμο μεγαλύτερο ή ίσο του τρίτου βαθμού μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο παραγόντων πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων όρων. Οπότε αν κάνουμε, για παράδειγμα, την αλλαγή μεταβλητής a=x^2, b=y^2 μπορούμε να ανάγουμε το δευτεροβάθμιο πολυώνυμό μας σε ένα μεγαλύτερου βαθμού και από την στιγμή που αυτό παραγοντοποιείται να βρούμε μια παραγοντοποίηση του (όχι απαραίτητα σε πολυώνυμα όμως). Όπως στο παράδειγμα παραγοντοποίησης που δόθηκε σε προηγούμενη ανάρτηση ("ξέρουμε" ότι το x^4+y^4 παραγοντοποιείται).

Ομοίως μπορούμε να εργαστούμε και για το a^2+ab+b^2.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης