Φυσικός αριθμός

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 893
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Φυσικός αριθμός

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Πέμ Ιαν 04, 2018 8:53 pm

Να εξετάσετε αν ο αριθμός \displaystyle{A=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{15}+4\sqrt{4+\sqrt{15}}}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}} είναι φυσικός.

Φιλικά,
Μάριος
τελευταία επεξεργασία από matha σε Παρ Ιαν 05, 2018 12:00 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Μετακινήθηκε από τον φάκελο της Β' Γυμνασίου


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4684
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Φυσικός αριθμός

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Ιαν 04, 2018 9:44 pm

Kαλησπέρα.

Ενδιαφέρον. Θα χαρώ να δω και λύσεις με τις γνώσεις της Β΄ Γυμνασίου.

Παρατηρώ ότι  \displaystyle {\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 5 } \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + 2\sqrt 6  + 2\sqrt {10}  + 2\sqrt {15}  =

 \displaystyle = 10 + 2\sqrt {15}  + 2\left( {\sqrt 6  + \sqrt {10} } \right) .

Επίσης  \displaystyle 4\sqrt {4 + \sqrt {15} }  = 2\sqrt {16 + 4\sqrt {15} }  = 2\sqrt {10 + 6 + 2 \cdot \sqrt {60} }  = 2\sqrt {{{\left( {\sqrt {10}  + \sqrt 6 } \right)}^2}}  = 2\left( {\sqrt {10}  + \sqrt 6 } \right) .

Οπότε  \displaystyle A = \frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt {15}  + 4\sqrt {4 + \sqrt {15} } } }}{{\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 5 } \right)}^2}} }}{{\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 5 }} = 1 που είναι φυσικός.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4390
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Φυσικός αριθμός

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιαν 04, 2018 10:03 pm

Ελαφρώς διαφορετικά από το Γιώργο. .... !!
M.S.Vovos έγραψε:
Πέμ Ιαν 04, 2018 8:53 pm
Να εξετάσετε αν ο αριθμός \displaystyle{A=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{15}+4\sqrt{4+\sqrt{15}}}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}} είναι φυσικός.

Φιλικά,
Μάριος
Έστω \mathcal{B} ο αριθμητής του κλάσματος. Τότε:
\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{B} &= \sqrt{10+2\sqrt{15}+4 \sqrt{4+\sqrt{15}}}\\  
 &= \sqrt{10+2\sqrt{15}+4 \sqrt{\left ( \sqrt{\frac{6}{4}} + \sqrt{\frac{10}{4}} \right )^2}}\\  
 &=\sqrt{10+2\sqrt{15}+4 \cdot \frac{1}{2}\left ( \sqrt{6}+ \sqrt{10} \right )} \\  
 &= \sqrt{10+2\sqrt{15}+ 2\left ( \sqrt{6}+\sqrt{10} \right )}\\  
 &= \sqrt{10+ 2 \left ( \sqrt{15} + \sqrt{6} + \sqrt{10} \right )} \\ 
 &= \sqrt{10 + 2 \left ( \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{2}\cdot  \sqrt{5} \right )} \\ 
 &=\sqrt{2+3+5+ 2 \left ( \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \right ) } \\ 
 &=\sqrt{\sqrt{2}^2+\sqrt{3}^2 + \sqrt{5}^2 + 2 \left ( \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \right ) } \\ 
 &= \sqrt{\left ( \sqrt{2}+\sqrt{3} + \sqrt{5} \right )^2} \\ 
 &= \sqrt{2}+\sqrt{3} + \sqrt{5}  
\end{aligned}} άρα όντως ο αριθμός \mathcal{A} είναι ρητός.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης