Με παραστάσεις

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Με παραστάσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Ιαν 23, 2018 2:24 am

Ένα θεματάκι που έβαλα σε τεστ στα παιδιά. Τρόμαξαν αρκετά.

Δίνονται οι παρακάτω παραστάσεις:

\displaystyle{A=(1+2)^{2}+(2+3)^{2}+\cdots +(98+99)^{2}+(99+100)^{2}}

\displaystyle{B=\left ( 1^{2}+2^{2} \right )+\left ( 2^{2}+3^{2} \right )+\cdots +\left ( 98^{2}+99^{2} \right )+\left ( 99^{2}+100^{2} \right )}

\displaystyle{C=1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots +98\cdot 99+99\cdot 100}

Να εξετάσετε αν ισχύει \displaystyle{A-B=2C}.

Υ.Γ. Είχα δώσει υπόδειξη να αποδείξουν την ταυτότητα \displaystyle{(\alpha +\beta )^{2}=\alpha ^{2}+2\alpha \beta +\beta ^{2}}.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4297
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Με παραστάσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Ιαν 23, 2018 9:56 am

Μάριε,

την έχω ξανά δει αυτή την άσκηση. Μπορώ να πω ότι μου άρεσε σαν ιδέα , αλλά δεν την έκανα ποτέ σε παιδιά. Anyway, έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathrm{A} - \mathrm{B} &= \left [\left ( 1+2 \right )^2+ \left ( 2+3 \right )^2 + \cdots \left ( 99+100 \right )^2   \right ] -\left [ \left ( 1^2+2^2 \right ) + \left ( 2^2+3^2 \right )+ \cdots \left ( 99^2 +100^2 \right )\right ] \\  
 &= \left [ \left (1^2 +2\cdot 1 \cdot 2 + 2^2  \right ) + \left ( 2^2 +2\cdot 3 \cdot 2 + 3^2 \right )+\cdots +\left ( 99^2 +2 \cdot 99 \cdot 100 +100^2 \right ) \right ] - \\  
 &\qquad \qquad \qquad - \left [ \left ( 1^2+2^2 \right ) + \left ( 2^2+3^2 \right )+ \cdots +\left ( 99^2+100^2 \right ) \right ] \\  
 &=  2 \left ( 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 +\cdots +  99\cdot 100 \right ) + \cancel{\left [ \left ( 1^2+2^2 \right ) + \left ( 2^2+3^2 \right ) + \cdots + \left ( 99^2+100^2 \right ) \right ]} - \\  
 & \qquad \qquad \qquad - \cancel{\left [ \left ( 1^2+2^2 \right ) + \left ( 2^2+3^2 \right ) +\cdots + \left ( 99^2+100^2 \right ) \right ]} \\ 
 &= 2\Gamma 
\end{aligned}}
Σίγουρα τα παιδιά θα τη φοβηθήκαν λόγω της σιδηρογραμμής που εμφανίστηκε μπροστά τους. Ακόμα και με την υπόδειξη δύσκολο να ξεπεράσουν το φόβο και να κάνουν το πρώτο βήμα και να δουν ότι έχουμε απλοποιήσεις.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9330
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Με παραστάσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 23, 2018 10:11 am

M.S.Vovos έγραψε:
Τρί Ιαν 23, 2018 2:24 am
Ένα θεματάκι που έβαλα σε τεστ στα παιδιά. Τρόμαξαν αρκετά.

Δίνονται οι παρακάτω παραστάσεις:

\displaystyle{A=(1+2)^{2}+(2+3)^{2}+\cdots +(98+99)^{2}+(99+100)^{2}}

\displaystyle{B=\left ( 1^{2}+2^{2} \right )+\left ( 2^{2}+3^{2} \right )+\cdots +\left ( 98^{2}+99^{2} \right )+\left ( 99^{2}+100^{2} \right )}

\displaystyle{C=1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots +98\cdot 99+99\cdot 100}

Να εξετάσετε αν ισχύει \displaystyle{A-B=2C}.

Υ.Γ. Είχα δώσει υπόδειξη να αποδείξουν την ταυτότητα \displaystyle{(\alpha +\beta )^{2}=\alpha ^{2}+2\alpha \beta +\beta ^{2}}.

Φιλικά,
Μάριος
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{(1 + 2)^2} = {1^2} + 2 \cdot 1 \cdot 2 + {2^2}\\ 
{(2 + 3)^2} = {2^2} + 2 \cdot 2 \cdot 3 + {3^2}\\ 
.........................................................\\ 
{(99 + 100)^2} = {99^2} + 2 \cdot 99 \cdot 100 + {100^2} 
\end{array} \right. και με πρόσθεση κατά μέλη

\displaystyle A = {1^2} + 2({2^2} + {3^2} + ... + {99^2}) + {100^2} + 2(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + 99 \cdot 100) = B + 2C


Με το δίκιο τους τρόμαξαν. Τα παιδιά σ' αυτή την ηλικία (πλην ελαχίστων εξαιρέσεων) δεν μπορούν να διαχειριστούν παραστάσεις που ενδιάμεσα περιέχουν τελίτσες.

Με πρόλαβε ο Τόλης, το αφήνω.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4297
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Με παραστάσεις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Ιαν 23, 2018 10:45 am

george visvikis έγραψε:
Τρί Ιαν 23, 2018 10:11 am
Με πρόλαβε ο Τόλης, το αφήνω.
Καλημέρα Γιώργο. !


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης