Τριώνυμο στο τριώνυμο

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4296
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Τριώνυμο στο τριώνυμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιαν 24, 2018 8:20 pm

Αν η εξίσωση
\displaystyle{2x^2-2x +2 (1-3 \alpha \beta) =0} έχει ρίζα τον αριθμό \alpha + \beta τότε:
  1. να δειχθεί ότι \alpha=\beta=1.
  2. να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης.

Την κοιτούσαμε σήμερα με τα παιδιά. Τη βρήκαν εξαιρετικά δύσκολη. Είναι από Τραγανίτη. Τη βρήκα εξαιρετικά ενδιαφέρουσα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1824
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τριώνυμο στο τριώνυμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Ιαν 24, 2018 10:37 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιαν 24, 2018 8:20 pm
Αν η εξίσωση
\displaystyle{2x^2-2x +2 (1-3 \alpha \beta) =0} έχει ρίζα τον αριθμό \alpha + \beta τότε:
  1. να δειχθεί ότι \alpha=\beta=1.
  2. να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης.

Την κοιτούσαμε σήμερα με τα παιδιά. Τη βρήκαν εξαιρετικά δύσκολη. Είναι από Τραγανίτη. Τη βρήκα εξαιρετικά ενδιαφέρουσα.

\displaystyle {\left( {a + b} \right)^2} - \left( {a + b} \right) + 1 - 3ab = 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - ab - a - b + 1 = 0

\displaystyle 2{a^2} - 2ab + 2{b^2} - 2a - 2b + 2 = 0 \Leftrightarrow {(a - b)^2} + {(a - 1)^2} + {(b - 1)^2} = 0 \Leftrightarrow \boxed{a = b = 1}

με ρίζες \displaystyle 2, - 1


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11614
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τριώνυμο στο τριώνυμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιαν 25, 2018 7:38 am

Στη συγκεκριμένη άσκηση αντιλαμβάνεται κανείς τη δυσκολία του θεματοδότη : Να δώσει την

εξίσωση ως : x^2-x+1-3ab=0 και άντε να βρει ο μαθητής τις ταυτότητες που κρύβονται ,

ή να τη δώσει ως : 2x^2-2x+2(1-3ab) , προκαλώντας την απορία : "μα γιατί δεν απλοποιεί ;"

Προσωπικά , δεν θα μπορούσα να τη δώσω με τη δεύτερη μορφή ...


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4296
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Τριώνυμο στο τριώνυμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιαν 25, 2018 11:15 am

Θανάση ,

ο Τραγανίτης την έχει όπως την έδωσα και τη συνοδεύει με υπόδειξη «μην απλοποιήσετε το 2».


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4296
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Τριώνυμο στο τριώνυμο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιαν 25, 2018 11:58 am

Και μία προσέγγιση που θα δικαιολογήσει το τίτλο. Ήταν η πρώτη λύση που έδωσα !

Εφόσον το \alpha+\beta είναι ρίζα του τριωνύμου θα είναι:

\displaystyle{\begin{aligned} 
2\left ( \alpha+\beta \right )^2 -2\left ( \alpha +\beta \right ) +2 \left ( 1- 3 \alpha \beta \right ) =0 & \Leftrightarrow 2 \alpha^2 +4 \alpha \beta + 2 \beta^2 -2 \alpha -2\beta +2 - 6 \alpha \beta =0\\  
 &\Leftrightarrow 2\alpha^2 -2 \alpha \beta +2\beta^2 -2 \alpha -2\beta+2=0 \\  
 &\Leftrightarrow 2 \alpha^2 -2\alpha \left ( \beta+1 \right ) + \left (2\beta^2 -2 \beta + 2  \right )=0 \\ 
 &\Leftrightarrow \alpha^2 -\alpha \left(\beta+1\right) +\left( \beta^2 - \beta+1 \right)=0 
\end{aligned}}
Η τελευταία τη θεωρούμε τριώνυμο ως προς \alpha. Τότε η διακρίνουσα αυτού είναι:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\Delta&= \left ( -\beta-1 \right )^2 -4  \left (  \beta^2-\beta+ 1 \right )  \\  
 &= \left ( \beta+1 \right )^2 - 4 \beta^2 + 4 \beta-4  \\  
 &= \beta^2 +2\beta + 1 - 4\beta^2 + 4 \beta-4\\  
 &= -3 \beta^2 + 6 \beta - 3 \\ 
 &=-3 \left ( \beta^2 -2 \beta +1 \right ) \\ 
 &= -3 \left ( \beta-1 \right )^2 \\ 
 &\leq 0 
\end{aligned}}
Όμως η διακρίνουσα του τελευταίου τριωνύμου δε μπορεί να είναι αρνητική αφού έχει ρίζα, άρα είναι 0 και συνεπώς \beta=1. Έπεται και ότι \alpha=1.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7199
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τριώνυμο στο τριώνυμο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιαν 25, 2018 1:48 pm

Πρώτα-πρώτα η εξίσωση είναι : {x^2} - x + 1 - 3ab = 0 ( το «μην απλοποιήσετε το 2» δεν το σχολιάζω)

Αφού έχει ρίζα τον πραγματικό αριθμό r = a + b θα έχω :

{r^2} - d + 1 - ab = 0 \Rightarrow {a^2} - (b + 1)a + {b^2} - b + 1 = 0 ( διατεταγμένο ως προς a)

που τη θεωρώ νέα εξίσωση με άγνωστο το a κι έχει διακρίνουσα D =  - 3{(b - 1)^2}

. Αναγκαστικά \boxed{b = 1}.

Αν διαταχθεί δε ως προς b με όμοιο τρόπο προκύπτει \boxed{a = 1}

Τώρα έχω την εξίσωση : {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = 2\,\, \hfill \\ 
  x =  - 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Βλέπω κι έχω συντονισμό , αλλά τ αφήνω για τον κόπο.

Τόλη γιατί βιάζεσαι!


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4296
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Τριώνυμο στο τριώνυμο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιαν 25, 2018 2:11 pm

Doloros έγραψε:
Πέμ Ιαν 25, 2018 1:48 pm

Βλέπω κι έχω συντονισμό , αλλά τ αφήνω για τον κόπο.

Τόλη γιατί βιάζεσαι!
:oops:
Καλημέρα Νίκο !!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης