Εφαπτομένη στο τετράγωνο

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9892
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εφαπτομένη στο τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Φεβ 05, 2018 10:34 am

εφαπτομένη  στο  τετράγωνο.png
εφαπτομένη στο τετράγωνο.png (8.12 KiB) Προβλήθηκε 322 φορές
Στο τετράγωνο ABCD εγγράψαμε το ορθογώνιο KLMN .

Αν (AKN)=(KLMN) , υπολογίστε την \tan\theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 311
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Εφαπτομένη στο τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τρί Φεβ 06, 2018 9:46 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Φεβ 05, 2018 10:34 am
εφαπτομένη στο τετράγωνο.pngΣτο τετράγωνο ABCD εγγράψαμε το ορθογώνιο KLMN .

Αν (AKN)=(KLMN) , υπολογίστε την \tan\theta .
Καλημέρα. Μια προσπάθεια ...
Εφαπτομένη στο τετράγωνο.png
Εφαπτομένη στο τετράγωνο.png (22.71 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο DNP έχουμε \widehat{\varphi }=90^{ο} -\widehat{\eta} .
Επίσης στο ορθογώνιο τρίγωνο PNM έχουμε \widehat{\omega}=90^{ο} -\widehat{\eta} .
Άρα \widehat{\varphi }=\widehat{\omega} .

Επίσης τα τρίγωνα DNP και DNM είναι ίσα διότι
α) ορθογώνια
β) DN : κοινή
γ) \widehat{\varphi }=\widehat{\omega}
Συνεπώς έχουμε PD=DM και επομένως ND : διάμεσος και ύψος του ορθογωνίου τριγώνου NPM.
Άρα  \widehat{\eta} =\widehat{\omega} =\widehat{\varphi } = 45^o και \widehat{ANK} =45^o .
Επομένως το τρίγωνο ANK είναι ορθογώνιο και ισοσκελές .

Τώρα έχουμε (KLMN)= KN \cdot NM (1) και (AKN) = \dfrac{AN^2}{2} .
Επίσης στο ορθογώνιο τρίγωνο από Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε : KN^2 = 2 AN^2 .
Άρα (AKN) = \dfrac{KN^2}{4} (2) .
Από τις (1) και (2) προκύπτει tan \theta =\dfrac{MN}{KN}= \dfrac{1}{4} .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5910
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εφαπτομένη στο τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Φεβ 06, 2018 2:34 pm

Για την εγγραφή του ορθογωνίου στο τετράγωνο .
Εφαπτομένη στο τετράγωνο_κατασκευή.png
Εφαπτομένη στο τετράγωνο_κατασκευή.png (18.54 KiB) Προβλήθηκε 240 φορές

Ας είναι K,M τυχαία σημεία των AB,AD. Οι κάθετες στα σημεία αυτά επι την KN τέμνουν τις CB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD στα L,M,

Το τετράπλευρο KLMN είναι δισορθογώνιο τραπέζιο εν γένει.

Τα τρίγωνα BLK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,DNM\, είναι όμοια κι αν το τετράπλευρο γίνει ορθογώνιο θα

είναι KL = MN και άρα τα τρίγωνα αυτά θα γίνουν ίσα οπότε αναγκαστικά τα

τρίγωνα AKN\,,\,\,BLK\,,\,\,\,DNM\, είναι ορθογώνια ισοσκελή .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες