Παραγοντοποίηση

#1

Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο $\rm x^8 +2702x^4y^4 +y^8.$

#2

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 11, 2018 10:35 am
Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο $\rm x^8 +2702x^4y^4 +y^8.$

Μία λύση στα όρια του ακροβατισμού. Θα υπάρχει φαντάζομαι πιο λογική αντιμετώπιση.

$\displaystyle {x^8} + 2702{x^4}{y^4} + {y^8} = {({x^4} + {y^4})^2} + 2500{x^4}{y^4} + 200{x^4}{y^4} =$

$\displaystyle {({x^4} + {y^4})^2} + {(50{x^2}{y^2})^2} + 100{x^2}{y^2}({x^4} + {y^4}) - 100{x^2}{y^2}({x^4} + {y^4}) + 200{x^4}{y^4} =$

$\displaystyle {({x^4} + {y^4} + 50{x^2}{y^2})^2} - 100{x^2}{y^2}({x^4} + {y^4} - 2{x^2}{y^2}) =$

$\displaystyle {({x^4} + {y^4} + 50{x^2}{y^2})^2} - {[10xy({x^2} - {y^2})]^2} =$

$\displaystyle ({x^4} - 10{x^3}y + 50{x^2}{y^2} + 10x{y^3} + {y^4})({x^4} + 10{x^3}y + 50{x^2}{y^2} - 10x{y^3} + {y^4})$

Απορία: Πώς μπορούμε να πείσουμε ένα μαθητή ότι ολοκληρώθηκε (αν ολοκληρώθηκε) η παραγοντοποίηση;

#3

Γιώργο δεν έχω κάτι καλύτερο κατά νου. Όσο για την απορία που διατυπώνεις, έχεις δίκιο. Μια εναλλακτική διατύπωση που θα μπορούσε να σταθεί είναι:
Να αναλύσετε σε γινόμενο δύο παραγόντων 4ου βαθμού το πολυώνυμο x^8+2702x^4y^4+y^8.

Η ιδέα είναι από ένα παλιό καλό βιβλίο του Μανόλη Μαραγκάκη "Αλγεβρικά Θέματα''.

#4

Καλημέρα Παύλο!

Στο τρέχον βιβλίο της Γ' Γυμνασίου εφαρμόζεται η διαφορά τετραγώνων και σε αριθμούς που δεν είναι τέλεια τετράγωνα. Το

παράδειγμα του βιβλίου είναι $a^2-7=(a-\sqrt 7)(a+\sqrt 7).$ Εδώ, θα ήθελα να εκφράσω άλλη μια απορία. Ένας μαθητής γράφει:

$\displaystyle {x^8} + 2702{x^4}{y^4} + {y^8} = {({x^4})^2} + 2 \cdot 1351{x^4}{y^4} + {(1351{y^4})^2} - 1825200{y^8} =$

$\displaystyle {({x^4} + 1351{y^4})^2} - {(780\sqrt 3 {y^4})^2} = \left[ {{x^4} + (1351 - 780\sqrt 3 ){y^4}} \right]\left[ {{x^4} + (1351 + 780\sqrt 3 ){y^4}} \right]$

Τι θα λέγαμε σ' αυτό το μαθητή;

#5

Πολύ καλή η παρατήρηση σου Γιώργο. Έτσι όπως μπήκε η ερώτηση, η απάντηση αυτή δεν μπορεί παρά να είναι δεκτή.

Η απάντηση δεν είναι μονοσήμαντη και μπορούμε να φτιάξουμε εύκολα τέτοια παραδείγματα όπως το πολυώνυμο
P(x)=(x^2-1)(x^2+1)(x^2-2)(x^2+2)=x^8-5x^4+4

γράφεται

αλλά και

όπως και

Παραγοντοποίηση

Παραγοντοποίηση

Re: Παραγοντοποίηση

Re: Παραγοντοποίηση

Re: Παραγοντοποίηση

Re: Παραγοντοποίηση

Μέλη σε σύνδεση