8 χιλιόμετρα

KARKAR · #1

: 8 χιλιόμετρα.png (7.01 KiB) Προβλήθηκε 1675 φορές

Τα σημεία T,P

είναι οι προβολές ενός σημείου

του τεταρτοκυκλίου , πάνω στις - μήκους

-

ακτίνες του OA,OB

. Βρείτε τη θέση του

για την οποία η κόκκινη διαδρομή έχει μήκος

.

$\bigstar$ : (

ώρες στους μαθητές )

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #2

Φέρουμε το τμήμα

το οποίο είναι ακτίνα του τεταρτοκυκλίου με ακτίνα OA=5

, οπότε είναι OS=5

Το τετράπλευρο OPST

είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, άρα PT=OS=5

Έστω πως

και

.

Έχουμε: PB=5-y

και

. Συνεπώς, $PB+PT+TA=8\Leftrightarrow 5-y+5+5-x=8\Leftrightarrow x+y=7\Leftrightarrow x=7-y$ (1)

Είναι: $OT^{2}+OP^{2}=PT^{2}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=5^{2}\Leftrightarrow \left (7-y \right )^{2}+y^{2}=25\Leftrightarrow 49-14y +y^{2}+y^{2}=25\Leftrightarrow-14y+2y^{2}=-24\Leftrightarrow 2y_{2}-14y +24=0\Leftrightarrow y^{2}-7y+12=0\Leftrightarrow \left ( y-3 \right )\left ( y-4 \right )=0\Leftrightarrow y=3$ ή y=4

.
Αντικαθιστώντας στην (1) έχουμε οτι x=3

ή

.
Επομένως, οι πιθανές συντεταγμένες του

είναι $\left ( x,y \right )$ : $\left ( 3,4 \right )$ ή $\left ( 4,3 \right )$

#3

Ένα επιπλέον ερώτημα (ανεξαρτήτως φακέλου).

: Ελάχιστη διαδρομή.Κ.png (6.2 KiB) Προβλήθηκε 1599 φορές

Με τα ίδια δεδομένα (ακτίνα

και

προβολές του

) να βρείτε την ελάχιστη κόκκινη διαδρομή BPTA.

#4

Καλησπέρα σε όλους.

: Ελάχιστη διαδρομή.Κ.png (6.2 KiB) Προβλήθηκε 1583 φορές

Έστω

, οπότε

.

Το ορθογώνιο τρίγωνο POT

έχει σταθερή υποτείνουσα άρα έχει μέγιστη περίμετρο όταν είναι ισοσκελές,(*) οπότε το μέγιστο του x+y

, άρα και το ζητούμενο ελάχιστο επιτυγχάνονται όταν $\displaystyle OP = OT = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}$ και είναι ίσο με $\displaystyle 15 - 5\sqrt 2$ .

(*) Δείτε ένα πρόσφατο σχετικό θέμα ΕΔΩ.

KARKAR · #5

: 8 χιλιόμετρα.png (7.95 KiB) Προβλήθηκε 1578 φορές

Είναι : $L(x)=15-(x+\sqrt{25-x^2})$ . Θα αναζητήσω το μέγιστο της :

$f(x)=x+\sqrt{25-x^2}=\sqrt{x^2}+\sqrt{25-x^2}$ . Στηριζόμενοι στην :

$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2(a+b)}$ για : a=x^2

,

παίρνω :

$f_{max}=\sqrt{2\cdot25}=5\sqrt{2}$ για : x^2=25-x^2

δηλαδή για : $x=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$ . Συνεπώς τότε : $L_{min}=15-5\sqrt{2}$

#6

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 27, 2018 6:56 pm
Ένα επιπλέον ερώτημα (ανεξαρτήτως φακέλου). Ελάχιστη διαδρομή.Κ.png
Με τα ίδια δεδομένα να βρείτε την ελάχιστη κόκκινη διαδρομή

Αφού

, ισοδύναμα θέλουμε το ελάχιστο του BP+TA=a+b

όπου θέσαμε $a=BP, \, b=TA$ . Έχουμε βέβαια (5-a)^2+(5-b)^2=5^2

ή αλλιώς

. Ισοδύναμα (a+b)^2-20(a+b)+50+(a-b)^2=0

.

Έπεται από τον τύπο της δευτεροβάθμιας ότι $a+b= 10 \pm \sqrt {50-(a-b)^2}$ . Παίρνουμε μόνο το μείον διότι $a, b \le 5$ . Έτσι $a+b= 10-\sqrt {50-(a-b)^2} \ge 10-\sqrt {50}$ με ισότητα αν $a=b = 5-\frac {\sqrt {50}}{2}$ . Και λοιπά. (Εδώ το ελάχιστο $a+b= 10-\sqrt {50}$ που σημαίνει το αρχικό ζητούμενο ελάχιστο είναι $15-\sqrt {50}$ ).

8 χιλιόμετρα

8 χιλιόμετρα

Re: 8 χιλιόμετρα

Re: 8 χιλιόμετρα

Re: 8 χιλιόμετρα

Re: 8 χιλιόμετρα

Re: 8 χιλιόμετρα

Μέλη σε σύνδεση