Ισχύει για κάθε n και για κάθε μέγεθος υποσυνόλου k?

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

ZF1986
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 27, 2010 9:40 pm
Επικοινωνία:

Ισχύει για κάθε n και για κάθε μέγεθος υποσυνόλου k?

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ZF1986 » Πέμ Φεβ 04, 2021 11:01 pm

Πάρε όλους τους αριθμούς από το 1 μέχρι το n. Αυτοί φτιάχνουν ένα σύνολο, το {1,2,3,...,n). Για παράδειγμα εάν το n=5 πέρνουμε το σύνολο των 5 πρώτων αριθμών: {1,2,3,4,5}. Στη συνέχεια πάρε k από αυτά τα στοιχεία και βάλτα μαζί. Αυτό φτιάχνει ένα υποσύνολο. Για παράδειγμα, εάν το k=5, ένα τέτοιο υποσύνολο είναι το {1,2,3}, ένα άλλο είναι το {1,3,4}, ένα άλλο το {1,3,5} κτλ.

Το ερώτημα είναι, μπορούμε να βάλουμε όλα αυτά τα υποσύνολα από k στοιχεία σε μια σειρά, έτσι ώστε σε κάθε βήμα ο αριθμός των φορών που έχουμε χρησιμοποιήσει τον κάθε αριθμό να είναι ο ίδιος ή να διαφέρει το πολύ κατά 1 από τους υπόλοιπους. Για παράδειγμα:
Ξεκινώντας από το {1,2,3} χρησιμοποιούμε το ένα 1 φορά, το δύο 1 φορά, το τρία 1 φορά, το τέσσερα 0 φορές και το πέντε 0 φορές.

Συνεχίζοντας με το {1,4,5} έχουμε χρησιμοποιήσει το ένα 2 φορές, το δύο 1 φορά, το τρία 1 φορά, το τέσσερα 1 φορά και το πέντε 1 φορά. Πρόσεξε πως το ένα έχει χρησιμοποιηθεί 2 φορές (μια στο {1,2,3} και μια στο {1,4,5} αλλά αυτό δεν μας πειράζει γιατί το 2 είναι μόνο μια φορά μεγαλύτερο από τις χρήσεις των άλλων αριθμών).

Συνεχίζοντας με το {2,3,4} έχουμε χρησιμοποιήσει το ένα 2 φορές, το δύο 2 φορές, το τρία 2 φορές, το τέσσερα 2 φορές και το πέντε 1 φορά.

Συνεχίζοντας με το {1,2,5} έχουμε χρησιμοποιήσει το ένα 3 φορές, το δύο 3 φορές, το τρία 2 φορές, το τέσσερα 2 φορές και το πέντε 2 φορές.

Συνεχίζοντας με το {3,4,5} έχουμε χρησιμοποιήσει το ένα 3 φορές, το δύο 3 φορές, το τρία 3 φορές, το τέσσερα 3 φορές και το πέντε 3 φορές.

Συνεχίζοντας με το {1,2,4} έχουμε χρησιμοποιήσει το ένα 4 φορές, το δύο 4 φορές, το τρία 3 φορές, το τέσσερα 4 φορές και το πέντε 3 φορές.

Συνεχίζοντας ομοίως, μπορούμε να πάρουμε και τα υπόλοιπα υποσύνολα {1,3,5} -> {2,3,4} -> {1,3,5} -> {2,4,5} και τελειώνουμε. Αν μετρήσεις, θα δεις πως ποτέ κάποιος αριθμός δεν χρησιμοποιήθηκε περισσότερο από 1 σε σχέση με τους υπολοίπους.

Το ερώτημα είναι, μπορούμε να το κάνουμε αυτό για n και για κάθε μέγεθος υποσυνόλου k (προφανώς μικρότερο του n);



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13334
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισχύει για κάθε n και για κάθε μέγεθος υποσυνόλου k?

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Φεβ 05, 2021 9:54 pm

ZF1986 θα σε παρακαλούσα να έγραφες σωστά το παραπάνω γιατί από ότι αντιλαμβάνομαι υπάρχουν τυπογραφικά(;) σφάλματα. Συγκεκριμένα, στο παράδειγμα που δίνεις, n=5,\, k=3, τα διαδοχικά σύνολα που γράφεις είναι τα

 \{1,2,3\},\,  \{1,4,5\},\,  \{2,3,4\},\,  \{1,2,5\},\,  \{3,4,5\},\, \{1,2,4\},\,  \{1,3,5\},\, \{2,3,4\},\,  \{1,3,5\},\,  \{2,4,5\}

Όμως τα \{2,3,4\},\,  \{1,3,5\} επαναλαμβάνονται από δύο φορές, ενώ λείπουν άλλα δύο στη θέση της επανάληψης.


ZF1986
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 27, 2010 9:40 pm
Επικοινωνία:

Re: Ισχύει για κάθε n και για κάθε μέγεθος υποσυνόλου k?

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ZF1986 » Παρ Φεβ 05, 2021 10:16 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Φεβ 05, 2021 9:54 pm
ZF1986 θα σε παρακαλούσα να έγραφες σωστά το παραπάνω γιατί από ότι αντιλαμβάνομαι υπάρχουν τυπογραφικά(;) σφάλματα. Συγκεκριμένα, στο παράδειγμα που δίνεις, n=5,\, k=3, τα διαδοχικά σύνολα που γράφεις είναι τα

 \{1,2,3\},\,  \{1,4,5\},\,  \{2,3,4\},\,  \{1,2,5\},\,  \{3,4,5\},\, \{1,2,4\},\,  \{1,3,5\},\, \{2,3,4\},\,  \{1,3,5\},\,  \{2,4,5\}

Όμως τα \{2,3,4\},\,  \{1,3,5\} επαναλαμβάνονται από δύο φορές, ενώ λείπουν άλλα δύο στη θέση της επανάληψης.
Έχετε δίκιο. Το k = 3. Επίσης, τα σύνολα που δημιουργούνται είναι συνολικά 10 επειδή δε μας ενδιαφέρει η σειρά των αριθμών.
{1,2,3} , {1,3,4} , {1,2,5} , {1,3,5} , {2,3,4} , {2,4,5} , {1,4,5} , {3,4,5} , {1,2,4} , {2,3,5}.

Μας ενδιαφέρουν μόνο τα υποσύνολα που δημιουργούνται από συνδυασμό n στοιχείων ανά k. Αν π.χ. k=3 έχουμε μόνο τριάδες, αν k=5 μόνο πεντάδες κτλ. H σειρά δεν παίζει ρόλο! Δηλαδή το {1,2,7} και το {2,1,7} είναι το ίδιο υποσύνολο.
Επίσης, η φορά των βημάτων αφορά το συνολικό αριθμό.
Για παράδειγμα αν έχουμε φτιάξει τα εξής:
{1,2,3} -> {1,4,5} -> {2,3,4} -> {1,2,5}
το 1 έχει χρησιμοποιηθεί 3 φορές, το 2 χρησιμοποιήθηκε 3 φορές, το 3, 2 φορές, το 4, 2 φορές και το 5, 2 φορές.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13334
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισχύει για κάθε n και για κάθε μέγεθος υποσυνόλου k?

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Φεβ 05, 2021 10:47 pm

ZF1986 έγραψε:
Παρ Φεβ 05, 2021 10:16 pm
{1,2,3} , {1,3,4} , {1,2,5} , {1,3,5} , {2,3,4} , {2,4,5} , {1,4,5} , {3,4,5} , {1,2,4} , {2,3,5}.
Θα σε παρακαλέσω άλλη μία φορά να είσαι σαφής γιατί δεν καταλαβαίνω το ερώτημα. Και δεν χρειάζεται μνα πλατειάζεις ή να επαναλαμβάνεις τα ίδια. Για παράδειγμα από την τρίτη έως την όγδοη γραμμή του προηγούμενου ποστ σου δεν προσφέρουν τίποτα.

Επί της ουσιας τώρα. Γράφεις

"ο αριθμός των φορών που έχουμε χρησιμοποιήσει τον κάθε αριθμό να είναι ο ίδιος ή να διαφέρει το πολύ κατά 1 από τους υπόλοιπους" (*)

Μήπως εννοείς "διαφέρει το πολύ κατά 1 από κάποιον από τους υπόλοιπους";

Για παράδειγμα στην διάταξή σου που επαναλαμβάνω λίγες γραμμές παραπάνω, μέχρι το τέταρτο βήμα έχεις {1,2,3} , {1,3,4} , {1,2,5} , {1,3,5} που σημαίνει ότι το 1 έχει εμφανιστεί τέσσερις φορές και το 4 έχει εμφανιστεί μία, πράγμα που δεν φαίνεται να είναι συμβατό με την πρότασή σου (*)


ZF1986
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 27, 2010 9:40 pm
Επικοινωνία:

Re: Ισχύει για κάθε n και για κάθε μέγεθος υποσυνόλου k?

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ZF1986 » Παρ Φεβ 05, 2021 11:56 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Φεβ 05, 2021 10:47 pm
ZF1986 έγραψε:
Παρ Φεβ 05, 2021 10:16 pm
{1,2,3} , {1,3,4} , {1,2,5} , {1,3,5} , {2,3,4} , {2,4,5} , {1,4,5} , {3,4,5} , {1,2,4} , {2,3,5}.
Θα σε παρακαλέσω άλλη μία φορά να είσαι σαφής γιατί δεν καταλαβαίνω το ερώτημα. Και δεν χρειάζεται μνα πλατειάζεις ή να επαναλαμβάνεις τα ίδια. Για παράδειγμα από την τρίτη έως την όγδοη γραμμή του προηγούμενου ποστ σου δεν προσφέρουν τίποτα.

Επί της ουσιας τώρα. Γράφεις

"ο αριθμός των φορών που έχουμε χρησιμοποιήσει τον κάθε αριθμό να είναι ο ίδιος ή να διαφέρει το πολύ κατά 1 από τους υπόλοιπους" (*)

Μήπως εννοείς "διαφέρει το πολύ κατά 1 από κάποιον από τους υπόλοιπους";

Για παράδειγμα στην διάταξή σου που επαναλαμβάνω λίγες γραμμές παραπάνω, μέχρι το τέταρτο βήμα έχεις {1,2,3} , {1,3,4} , {1,2,5} , {1,3,5} που σημαίνει ότι το 1 έχει εμφανιστεί τέσσερις φορές και το 4 έχει εμφανιστεί μία, πράγμα που δεν φαίνεται να είναι συμβατό με την πρότασή σου (*)
Το ερώτημα είναι, μπορούμε να βάλουμε όλα αυτά τα υποσύνολα από k στοιχεία σε μια σειρά, έτσι ώστε σε κάθε βήμα ο αριθμός των φορών που έχουμε χρησιμοποιήσει τον κάθε αριθμό να είναι ο ίδιος ή να διαφέρει το πολύ κατά 1 από τους υπόλοιπους.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13334
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισχύει για κάθε n και για κάθε μέγεθος υποσυνόλου k?

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Φεβ 06, 2021 12:14 am

ZF1986 έγραψε:
Παρ Φεβ 05, 2021 11:56 pm

Το ερώτημα είναι, μπορούμε να βάλουμε όλα αυτά τα υποσύνολα από k στοιχεία σε μια σειρά, έτσι ώστε σε κάθε βήμα ο αριθμός των φορών που έχουμε χρησιμοποιήσει τον κάθε αριθμό να είναι ο ίδιος ή να διαφέρει το πολύ κατά 1 από τους υπόλοιπους.
Μου φαίνεται ότι δεν έγινα κατανοητός. Κάνω άλλη μία προσπάθεια αλλά παρακαλώ αυτή την φορά να απαντήσεις στην ένστασή μου και όχι να ξαναγράψεις κοπή/αντιγραφή την αρχική σου πρόταση για την οποία εγείρω αντιρρήσεις.

Ξαναρωτάω λοιπόν: Στην ακολουθία {1,2,3} , {1,3,4} , {1,2,5} , {1,3,5} που γράφεις, το 1 έχει εμφανιστεί τέσσερις φορές και το 4 έχει εμφανιστεί μία φορά. Το βλέπεις αυτό να μεταφράζεται ως ο καθένας να διαφέρει το πολύ κατά 1 από τους υπόλοιπους. Δηλαδή η μία εμφάνιση διαφέρει το πολύ κατά ένα από τις τέσσερις εμφανίσεις, που είναι βέβαια η εμφάνιση κάποιου από τους υπόλοιπους; Δεν νομίζω.

Μήπως θέλεις να πεις ότι η εμφάνιση κάθε αριθμού διαφέρει το πολύ κατά ένα από κάποιον από τους υπόλοιπους;

Το πιθανότερο είναι ότι

α) Το παράδειγμα που δίνεις είναι εσφαλμένο (γι αύτό και μας μπερδεύει)
και ότι το σωστό ερώτημα είναι
β) σε κάθε βήμα ο αριθμός των φορών που έχουμε χρησιμοποιήσει τον κάθε αριθμό να είναι ο ίδιος ή διαφέρει το πολύ κατά 1 από καθένα από τους υπόλοιπους.

Ελπίζω αυτή την φορά να έγινα κατανοητός.


ZF1986
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 27, 2010 9:40 pm
Επικοινωνία:

Re: Ισχύει για κάθε n και για κάθε μέγεθος υποσυνόλου k?

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ZF1986 » Σάβ Φεβ 06, 2021 7:52 am

Η σωστή διατύπωση είναι αυτή που γράψατε στο (β) ερώτημα.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13334
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ισχύει για κάθε n και για κάθε μέγεθος υποσυνόλου k?

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Φεβ 06, 2021 9:00 am

ZF1986 έγραψε:
Σάβ Φεβ 06, 2021 7:52 am
Η σωστή διατύπωση είναι αυτή που γράψατε στο (β) ερώτημα.
Ευχαριστώ για την απάντηση. Όμως παραμένει αναπάντητο το α) που επεσήμανα, ότι δηλαδή το παράδειγμα

{1,2,3} , {1,3,4} , {1,2,5} , {1,3,5} , {2,3,4} , {2,4,5} , {1,4,5} , {3,4,5} , {1,2,4} , {2,3,5}.

που δίνεις είναι εσφαλμένο. Σωστά;

Όπως το βλέπω ο ίδιος, ένα σωστό παράδειγμα είναι το

123,\, 145, \,234,\,125,\,345,\, 124,\, 235, \,134,\,245,\,135. Σωστά;


ZF1986
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 27, 2010 9:40 pm
Επικοινωνία:

Re: Ισχύει για κάθε n και για κάθε μέγεθος υποσυνόλου k?

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ZF1986 » Σάβ Φεβ 06, 2021 9:54 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Φεβ 06, 2021 9:00 am
ZF1986 έγραψε:
Σάβ Φεβ 06, 2021 7:52 am
Η σωστή διατύπωση είναι αυτή που γράψατε στο (β) ερώτημα.
Ευχαριστώ για την απάντηση. Όμως παραμένει αναπάντητο το α) που επεσήμανα, ότι δηλαδή το παράδειγμα

{1,2,3} , {1,3,4} , {1,2,5} , {1,3,5} , {2,3,4} , {2,4,5} , {1,4,5} , {3,4,5} , {1,2,4} , {2,3,5}.

που δίνεις είναι εσφαλμένο. Σωστά;

Όπως το βλέπω ο ίδιος, ένα σωστό παράδειγμα είναι το

123,\, 145, \,234,\,125,\,345,\, 124,\, 235, \,134,\,245,\,135. Σωστά;
Τα σύνολα που έδωσα είναι ο συνολικός αριθμός των συνόλων που μπορούν να συνδυαστούν 5 αριθμοί ανά τριάδες.
Δεν σημαίνει ότι αναγκαστικά θα ακολουθήσω τη συγκεκριμένη διαδρομή.


ZF1986
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 27, 2010 9:40 pm
Επικοινωνία:

Re: Ισχύει για κάθε n και για κάθε μέγεθος υποσυνόλου k?

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ZF1986 » Δευ Φεβ 08, 2021 11:31 am

ZF1986 έγραψε:
Σάβ Φεβ 06, 2021 9:54 am
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Φεβ 06, 2021 9:00 am
ZF1986 έγραψε:
Σάβ Φεβ 06, 2021 7:52 am
Η σωστή διατύπωση είναι αυτή που γράψατε στο (β) ερώτημα.
Ευχαριστώ για την απάντηση. Όμως παραμένει αναπάντητο το α) που επεσήμανα, ότι δηλαδή το παράδειγμα

{1,2,3} , {1,3,4} , {1,2,5} , {1,3,5} , {2,3,4} , {2,4,5} , {1,4,5} , {3,4,5} , {1,2,4} , {2,3,5}.

που δίνεις είναι εσφαλμένο. Σωστά;

Όπως το βλέπω ο ίδιος, ένα σωστό παράδειγμα είναι το

123,\, 145, \,234,\,125,\,345,\, 124,\, 235, \,134,\,245,\,135. Σωστά;
Τα σύνολα που έδωσα είναι ο συνολικός αριθμός των συνόλων που μπορούν να συνδυαστούν 5 αριθμοί ανά τριάδες.
Δεν σημαίνει ότι αναγκαστικά θα ακολουθήσω τη συγκεκριμένη διαδρομή.
Το θέμα είναι αν υπάρχει πάντα μία διαδρομή που μπορώ να ακολουθήσω από το ένα υποσύνολο (π.χ. 3αδα) στο άλλο, έτσι ώστε να ισχύουν όσα προαναφέρθηκαν.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης