Ισότητα τμημάτων

Tolaso J Kos · #1

Στο παρακάτω σχήμα δίδονται τα διαδοχικά συνευθειακά σημεία $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ , $\Gamma$ με $\mathrm{B} \Gamma =2 \mathrm{AB} = 2x$ . Στο ημικύκλιο διαμέτρου

παίρνουμε σημείο $\Delta$ τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα $\Delta \mathrm{A}$ να τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στα $\mathrm{E}$ , $\mathrm{Z}$ και το ημικύκλιο διαμέτρου

στο $\mathrm{H}$ . Να δειχθεί ότι $\Delta \mathrm{E} = \mathrm{ZH}$ .

$\displaystyle{ \begin{tikzpicture} \draw[line width=1.2pt] (1, 0) arc(0:180:1); \draw[line width=1.2pt] (5, 0) arc(0:180:2); \draw[line width=1.2pt] (5, 0) arc(0:180:3); \draw[line width=1.2pt] (-1,0)-- (5,0); \draw[dashed] (-1,0) -- (3.76, 2.43); \draw (-1, 0) node[below]{A}; \draw (1,0) node[below]{B}; \draw (5, 0) node[below]{\text{\gr Γ}}; \draw (3.76, 2.43) node[right]{\text{\gr Δ}}; \draw (2.92, 2) node[above]{E}; \draw (1.43, 1.24) node[above]{Z}; \draw (0.59,0.81) node[above]{H}; \draw[fill=black] (0,0) circle(2pt) node[below]{K}; \draw[fill=black] (3,0) circle(2pt) node[below]{\text{\gr Λ}}; \draw (0, -1) node[]{x}; \draw (3, -1) node[]{2x}; \end{tikzpicture}}$
Ερώτηση εκτός άσκησης (και ίσως φακέλου): Υπάρχει κάποια σχέση που συνδέει τα εμβαδά των παραπάνω σχημάτων, ή ακόμη και το εμβαδόν του μηνίσκου;

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 06, 2023 12:13 am

Ερώτηση εκτός άσκησης (και ίσως φακέλου): Υπάρχει κάποια σχέση που συνδέει τα εμβαδά των παραπάνω σχημάτων, ή ακόμη και το εμβαδόν του μηνίσκου;

Kαλημέρα Αποστόλη. Είναι η Άρβηλος του Αρχιμήδη. Υπάρχει και στο σχολικό βιβλίο της Β΄Λυκείου.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 06, 2023 12:13 am
Στο παρακάτω σχήμα δίδονται τα διαδοχικά συνευθειακά σημεία $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ , $\Gamma$ με $\mathrm{B} \Gamma =2 \mathrm{AB} = 2x$ . Στο ημικύκλιο διαμέτρου παίρνουμε σημείο $\Delta$ τέτοιο ώστε το ευθύγραμμο τμήμα $\Delta \mathrm{A}$ να τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου στα $\mathrm{E}$ , $\mathrm{Z}$ και το ημικύκλιο διαμέτρου στο $\mathrm{H}$ . Να δειχθεί ότι $\Delta \mathrm{E} = \mathrm{ZH}$ .

$\displaystyle{ \begin{tikzpicture} \draw[line width=1.2pt] (1, 0) arc(0:180:1); \draw[line width=1.2pt] (5, 0) arc(0:180:2); \draw[line width=1.2pt] (5, 0) arc(0:180:3); \draw[line width=1.2pt] (-1,0)-- (5,0); \draw[dashed] (-1,0) -- (3.76, 2.43); \draw (-1, 0) node[below]{A}; \draw (1,0) node[below]{B}; \draw (5, 0) node[below]{\text{\gr Γ}}; \draw (3.76, 2.43) node[right]{\text{\gr Δ}}; \draw (2.92, 2) node[above]{E}; \draw (1.43, 1.24) node[above]{Z}; \draw (0.59,0.81) node[above]{H}; \draw[fill=black] (0,0) circle(2pt) node[below]{K}; \draw[fill=black] (3,0) circle(2pt) node[below]{\text{\gr Λ}}; \draw (0, -1) node[]{x}; \draw (3, -1) node[]{2x}; \end{tikzpicture}}$
Ερώτηση εκτός άσκησης (και ίσως φακέλου): Υπάρχει κάποια σχέση που συνδέει τα εμβαδά των παραπάνω σχημάτων, ή ακόμη και το εμβαδόν του μηνίσκου;

Αρκετά δύσκολη για Γ Γυμνασίου.

Θέτω x=2r

και έστω

τα μέσα των AH, ZE.

: Tolaso J Kos.4.png (19.38 KiB) Προβλήθηκε 1295 φορές

$\displaystyle MK||NL \Leftrightarrow \frac{{AM}}{{MN}} = \frac{{AK}}{{KL}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{AH}}{2}}}{{\frac{{AH}}{2} + HZ + \frac{{ZE}}{2}}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{AH}}{{AE + HZ}} = \frac{1}{3}}$ (1)

$\displaystyle HB||DC \Leftrightarrow \frac{{AH}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{AH}}{{AE + ED}} = \frac{1}{3}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{HZ=ED}$

nickchalkida · #4

Από τις ισότητες των τριγώνων ABH

,

θά είναι

,
άρα και HM=MD

, και επειδή ZM=ME

θα είναι και HZ=ED

.

Henri van Aubel · #5

nickchalkida έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 06, 2023 12:47 pm
Από τις ισότητες των τριγώνων , , θά είναι ,
άρα και , και επειδή θα είναι και .

Πολύ διδακτικό!!

Ισότητα τμημάτων

Ισότητα τμημάτων

Re: Ισότητα τμημάτων

Re: Ισότητα τμημάτων

Re: Ισότητα τμημάτων

Re: Ισότητα τμημάτων

Μέλη σε σύνδεση