Αμ΄ έπος αμ΄ έργον (προσομοίωση 4ου θέματος)

Christos.N · #21

και η

$\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{c} - \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}},x < 0\\ 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,x = 0\\ \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,x > 0 \end{array} \right.}$

καλύπτει όλες τις συνθήκες.

Αναλύω τις σκέψεις μου,

1) Να είναι ρητή πολυωνυμική

2) περιττή συνάρτηση

3) και οι μεγιστοβάθμιοι να είναι ίσοι μεταξύ τους.

Tolaso J Kos · #22

grigkost έγραψε:
$f(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}\,,\quad x\in(-1,1)\,,$

Αυτήν είχα και γω στο νού μου.. σα δεύτερη συνάρτηση... !!

#23

grigkost έγραψε: Έστω τυχών αλλά πάγιος θετικός πραγματικός, Υπάρχει 1-1, παντού παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\,\mathbb{R}\longrightarrow(-1,1)$ ορισμένη σε όλο το $\mathbb{R}$ με πεδίο τιμών το και τέτοια ώστε, για κάθε $x\in\mathbb{R}$ , να ισχύει $|f'(x)|\leqslant m$ ; Αν ναι, παρουσιάστε τον τύπο μιας τέτοιας συνάρτησης, αν όχι δικαιολογείστε την μη-ύπαρξή της.

edit: 12:26 Βελτιώθηκε η διατύπωση της άσκησης.

Γρηγόρη, και τώρα η διατύπωση είναι προβληματική. Αν καταλαβαίνω καλά θέλεις να πεις:

"Έστω m>0

πραγματικός αριθμός. Υπάρχει .... ;"

ή

"Δίνεται ένα πραγματικός αριθμός m>0

. Υπάρχει ... ;"

Η απάντηση που έδωσα, δηλαδή η $f(x) = \frac {mx}{1+m|x|}$ , απάντα στο ερώτημα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #24

Αν πάρουμε $f:\mathbb{R}\rightarrow (-1,1)$

1-1 επί παραγωγίσημη τότε η παράγωγος της θα είναι φραγμένη.

Ολα τα παραδείγματα που δόθηκαν είναι έτσι.
(Δεν ισχυρίζομαι ότι είναι σωστό)

Αν θέσουμε $g(x)=f(ax),a\neq 0$

τότε $g:\mathbb{R}\rightarrow (-1,1)$
είναι 1-1 επί και

g'(x)=af'(ax)

που απαντά στο ερώτημα του Γρηγόρη παίρνοντας κατάλληλο

Το ενδιαφέρον ερώτημα είναι

Υπάρχει $f:\mathbb{R}\rightarrow (-1,1)$ 1-1 επί ώστε το σύνολο

$\left \{ \left | f'(x) \right |:x\in \mathbb{R} \right \}$

να μην είναι φραγμένο.

Φυσικά δεν είναι για αυτόν τον φάκελο.

#25

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Το ενδιαφέρον ερώτημα είναι

Υπάρχει $f:\mathbb{R}\rightarrow (-1,1)$ 1-1 επί ώστε το σύνολο

$\left \{ \left | f'(x) \right |:x\in \mathbb{R} \right \}$

να μην είναι φραγμένο.

Φυσικά δεν είναι για αυτόν τον φάκελο.

Υπάρχει.

Ας δούμε μία τέτοια (εκτός φακέλου). Την δίνω περιγραφικά αλλά εύκολα τακτοποιείται.

H ιδέα είναι το γράφημά της σε "πολύ μικρό διάστημα αρχίζοντας από τον τυχαίο φυσικό

και πέρα να έχει μεγάλη κλίση". Στα ενδιάμεσα την ενώνουμε φροντίζοντας να είναι γνήσια αύξουσα και παραγωγίσιμη (ακόμα και άπειρες φορές). Για αρνητικά

την ορίζουμε συμμετρικά.

Κάπως ακριβέστερα στο $[n , n + \frac {1}{4^{2n+1}}]$ είναι ευθεία που στο αριστερό άκρο έχει τεταγμένη $\displaystyle \frac {1}{2} + \frac {1}{2^2}+ ... + \frac {1}{2^{2n}}$ και στο δεξί $\displaystyle \frac {1}{2} + \frac {1}{2^2}+ ... + \frac {1}{2^{2n}} + \frac {1}{2^{2n+1}}$ . Έτσι η κλίση της σε αυτό το διάστημα είναι $\displaystyle {\frac { \frac {1}{2^{2n+1}}} {\frac {1}{4^{2n+1}}} \to \infty}$ .

Είναι σαφές ότι η

παίρνει όλες τις τιμές στο (-1,1)

και είναι γνήσια αύξουσα, με όλο και μεγαλύτερες κλίσεις κοντά στους φυσικούς, καθώς το

αυξάνει.

Ίσως αργότερα βάλω σχήμα που δείχνει εποπτικά την κατάσταση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #26

Καλό απόγευμα Μιχάλη.
Η ιδέα είναι αυτό ακριβώς που κάνεις.

Μπορούμε να αποφύγουμε τις λειάνσεις στις γωνίες αν κάνουμε το εξής:

Να αποδείξουμε ότι για a,b> 0

υπάρχει

$f:[0,a]\rightarrow [0,b]$ 1-1 επί γνησίως αύξουσα

με f'(0)=f'(a)=0

(μπορούμε δε όλες οι παράγωγοι στο

και στο

να είναι

)

#27

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τέτοιες υπάρχουν πολλές.Μια από αυτές είναι

$g:\mathbb{R}\rightarrow (0,1)$

με $g(x)=\dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}$

Σταύρο,

έχεις αντιληφθεί ότι οι θεματοθέτες των φετινών Πανελληνίων σου έκλεψαν την παραπάνω συνάρτηση για το θέμα Β2, Β3, Β4;

Όλα αυτά δείχνουν άλλη μία φορά ότι το mathematica είναι μπροστά από τις εξελίξεις.

Τώρα, αν οι εφημερίδες πάρουν χαμπάρι ότι το θέμα Β2, Β3, Β4 εμφανίστηκε στο

, έεεε να δεις ντόρος που θα γίνει.

Christos.N · #28

Πραγματικά μια δυσεύρετη και πρωτότυπη συνάρτηση, εύχομαι κύριε Λάμπρου να εξασκείτε το χιούμορ σας.

#29

Κατά πως φαίνεται η κριτική ασκήσεων-θεμάτων τρίτων είναι δημοφιλέστερη δραστηριότητα από την πρόκληση που έχει η δημιουργία μιας άσκησης-θέματος. Συνεχίζουμε:

ΟΡΙΣΜΟΣ: Το ακέραιο μέρος ενός πραγματικού αριθμού

ορίζεται σαν ο μεγαλύτερος ακέραιος που είναι μικρότερος ή ίσος του

. Το ακέραιο μέρος του

συμβολίζεται με $\lfloor{x}\rfloor$ .
π.χ. $\lfloor{\pi}\rfloor=3$ , $\lfloor{-2.4142}\rfloor=-3$ , $\Big\lfloor{\dfrac{21}{2}}\Big\rfloor=10$ ,...

ΑΣΚΗΣΗ: Θεωρούμε την συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ με τύπο $f(x)=x-\lfloor{x}\rfloor$ .

Να βρεθεί το πεδίο τιμών της συνάρτησης .
Να εξετασθεί αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ .
Να βρεθούν τα (πλευρικά) όρια $\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow1^{-}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$ και $\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow1^{+}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$ .
Να συγκριθεί η συνάρτηση με την συνάρτηση $g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ με τύπο $g(x)=x+\lfloor{x}\rfloor-\lfloor{x+\lfloor{x}\rfloor}\rfloor$ .

Christos.N · #30

Καλημέρα Γρηγόρη

i. Έστω $\displaystyle{x \in R}$ διακρίνουμε δύο περιπτώσεις, αν $\displaystyle{x \in Z \Rightarrow \left\lfloor x \right\rfloor = x}$ ενώ αν $\displaystyle{x \in R - Z \Rightarrow x = \left\lfloor x \right\rfloor + a < \left\lfloor x \right\rfloor + 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,a \in \left( {0,1} \right)}$ , απο τα προηγούμενα συνδυάζοντας τα παρατηρούμε ότι: $\displaystyle{0 \le f\left( x \right) < 1}$

Θα αποδείξουμε ότι το σύνολο τιμών της

είναι το σύνολο [0,1)

πράγματι, αν $\displaystyle{y = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = \left\lfloor x \right\rfloor \Rightarrow x \in Z}$

ενώ αν $\displaystyle{y \in \left( {0,1} \right) \Rightarrow f\left( x \right) = y \Rightarrow x = \left\lfloor x \right\rfloor + y}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ii. Θα δείξουμε ότι η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο $\displaystyle{R}$

Έστω $\displaystyle{{x_0} \in {\rm Z}}$

για $\displaystyle{{x_0} - 1 < x < {x_0} \Rightarrow \left\lfloor x \right\rfloor = {x_0} - 1}$ τότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } x - \left\lfloor x \right\rfloor = {x_0} - ({x_0} - 1) = 1}$

ενώ αν $\displaystyle{{x_0} < x < {x_0} + 1 \Rightarrow \left\lfloor x \right\rfloor = {x_0}}$ τότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } x - \left\lfloor x \right\rfloor = {x_0} - {x_0} = 0}$

Δηλαδή το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)}$ δεν υπάρχει άρα η συνάρτηση δεν είναι συνεχής παντού στο $\displaystyle{R}$ .

iii)
$\displaystyle{\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x - 0}}{{x - 1}} = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x - 1 - 0}}{{x - 1}} = 1\end{array}}$

iv) Παρατηρούμε ότι για κάθε ακέραιο αριθμό $\displaystyle{T}$ τότε:

$\displaystyle{f\left( {x + T} \right) = x + T - \left\lfloor {x + T} \right\rfloor = x + T - \left\lfloor x \right\rfloor - T = f\left( x \right)}$

Άρα $\displaystyle{g\left( x \right) = x + \left\lfloor x \right\rfloor - \left\lfloor {x + \left\lfloor x \right\rfloor } \right\rfloor = f\left( {x + \left\lfloor x \right\rfloor } \right) = f\left( x \right)}$ , δηλαδή είναι ίσες.

#31

Christos.N έγραψε:Πραγματικά μια δυσεύρετη και πρωτότυπη συνάρτηση, εύχομαι κύριε Λάμπρου να εξασκείτε το χιούμορ σας.

Χρήστο, και βέβαια με χιούμορ το λέω, που στις μέρες που βιώνουμε είναι το μόνο όπλο που μας μένει για να αντιμετωπίσουμε αυτά που βλέπουμε γύρω μας.

H συνάρτηση αυτή και η αδελφή της $2g(x) - 1= \frac {e^x-1}{e^x+1}$ και άλλες παραλλαγές της είναι πολύ καλά μελετημένες. Η δεύτερη είναι βέβαια η $\tanh \frac {x}{2}$ αλλά η πραγματική της μελέτη ξεκίνησε από τον Bernoulli ο οποίος όρισε μέσω αυτής τους λεγόμενους αριθμούς Bernoulli.

Συγκεκριμένα οι αριθμοί Bernoulli ορίζονται ως οι συντελεστές B_n

στο ανάπτυγμα Taylor της

$\frac {x}{2}\cdot \frac {e^x+1}{e^x-1}$

Kάθε δεύτερος μηδενίζεται και είναι $B_1=\frac {1}{6}, \, B_3=\frac {1}{30}= B_7, \, B_5=\frac {1}{42}, \, B_9=\frac {5}{66}, \, B_{11}=\frac {691}{2730}, ...$

Η εφαρομογές είναι πάμπολλες, για παράδειγμα στην μελέτη των αθροισμάτων 1^k+2^k+...+n^k

. Επίσης ο τελεστής $(e^ {d/dx}-1)^{-1}$ εμφανίζεται στην μελέτη Διαφορικών Εξισώσεων.

Και ένα σχόλιο το οποίο δεν έχω πει πουθενά αλλά μου είναι σαφές χρόνια τώρα χωρίς να μπορώ να το αποδείξω:

Παρατηρώ ότι πάμπολλα θέματα στις Πανελλήνιες προέρχονται από την Θεωρία Διαφορικών Εξισώσεων, σε απλοποιημένη μορφή. Δηλαδή, παρατηρώ, ότι είναι σαν να παίρνουν οι Θεματοθέτες την θεωρία από τις γνώσεις τους Διαφορικών Εξισώσεων (σχεδόν πάντα μπορώ να την εντοπίσω το σχετικό κεφάλαιο) και την προσαρμόζουν περί τα σχολικά. Έτσι εξασφαλίζουν α) σωστά θέματα από Μαθηματικής σκοπιάς που β) δεν έχουν εμφανιστεί στα Φροντιστηριακά βοηθήματα.

Το έχω δει αυτό το έργο ξανά και ξανά. Δεν το λέω αρνητικά. Ίσα ίσα είναι μία πλούσια πηγή θεματολογίας που είναι, συγχρόνως, άγνωστη στον μέσο συνάδελφο.

Η μόνη κριτική που έχω είναι ότι κατάντησε ο μέσος συνάδελφος να είναι στα μάτια του θεματοθέτη, εχθρός. Έτσι υπάρχει ένας κρυφός ανταγωνισμός όπου ο ένας προσπαθεί με κάθε τρόπο να βρει θεματολογία που δεν μπορεί να προβλέψει ο άλλος. Το λογικό θα ήταν οι δύο ομάδες να ήσαν σε απόλυτη αρμονία, αλλά ... (άστο).

#32

Προτείνω την παρακάτω:

Δίνεται $f:[0,\infty)\mapsto [0,\infty)$ τέτοια ώστε $f''(x)\geq 0$ για κάθε $x\geq 0$ , f(0)=0

και

για κάθε $x\geq 0$ .

α) Να αποδείξετε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα.

β) Να αποδείξετε ότι $f(f(x))\geq xf'(x)f'(f(x))$ .

γ) Να αποδείξετε ότι $f(x)\geq x$ και $f'(x)\leq 1$ .

δ) Να αποδείξετε ότι f(x)=x

για κάθε $x\geq 0$ .

mikemoke · #33

silouan έγραψε:Προτείνω την παρακάτω:

Δίνεται $f:[0,\infty)\mapsto [0,\infty)$ τέτοια ώστε $f''(x)\geq 0$ για κάθε $x\geq 0$ , και για κάθε $x\geq 0$ .

α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα.

β) Να αποδείξετε ότι $f(f(x))\geq xf'(x)f'(f(x))$ .

γ) Να αποδείξετε ότι $f(x)\geq x$ και $f'(x)\leq 1$ .

δ) Να αποδείξετε ότι για κάθε $x\geq 0$ .

To a) Από $f:[0,\infty)\mapsto [0,\infty)$ τέτοια ώστε $f''(x)\geq 0$ για κάθε $x\geq 0$ , f(0)=0

προφανώς η

είναι κυρτή και γνησίως αύξουσα ή αρχικά μπορεί να ταυτίζεται με τον x'x

.Το 2ο αποκλείεται λόγω f'(x)f(f(x))=x

για κάθε $x\geq 0$ (1)

Το δ) Παρατηρούμε ότι για $x\rightarrow 0$ f(x)=ax

με

Έτσι η

γίνεται

που ισχύει μόνο για a=1

Έστω ότι η

αρχίζει να αυξάνει σε ένα διάστημα (x_1,x_2)

τότε

και αφού

κυρτή τότε f(f(x_2))>f(x_2)>x_2

και

άρα η

δεν ισχύει αφού f'(x_2)*f(f(x_2))>x_2

Άρα

για κάθε $x\geq 0$ .
θεώρησα ότι η

είναι παραγωγίσιμη λόγω της (1)

Γεωμετρικά φαίνεται ξεκάθαρα .
Το α , δ προκύπτουν αν η (1)

ήταν

για κάθε $x\geq 0$

Λάμπρος Μπαλός · #34

silouan έγραψε:Προτείνω την παρακάτω:

Δίνεται $f:[0,\infty)\mapsto [0,\infty)$ τέτοια ώστε $f''(x)\geq 0$ για κάθε $x\geq 0$ , και για κάθε $x\geq 0$ .

α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα.

β) Να αποδείξετε ότι $f(f(x))\geq xf'(x)f'(f(x))$ .

γ) Να αποδείξετε ότι $f(x)\geq x$ και $f'(x)\leq 1$ .

δ) Να αποδείξετε ότι για κάθε $x\geq 0$ .

Καλησπέρα.

Για το (γ)

Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση $G(x)=\frac{f(x)}{x}$ , στο $(0,+ \infty)$ .

Με ενδιαφέρει να αποδείξω ότι $lim_{x \rightarrow 0} G(x)=1$ και να αποδείξω ότι $G'(x) \geq 0$ . Θα μπορούσαν άλλωστε να είναι επί μέρους ερωτήματα. Θα τα αφήσω προς το παρόν μήπως θελήσει κάποιος να ασχοληθεί και αν όχι, θα επιστρέψω το βράδυ και θα γράψω αναλυτικά τη λύση μου.

Σιλουανέ

Αφού παρακάτω απαντήθηκε, την αφήνω.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #35

silouan έγραψε:Προτείνω την παρακάτω:

Δίνεται $f:[0,\infty)\mapsto [0,\infty)$ τέτοια ώστε $f''(x)\geq 0$ για κάθε $x\geq 0$ , και για κάθε $x\geq 0$ .

α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα.

β) Να αποδείξετε ότι $f(f(x))\geq xf'(x)f'(f(x))$ .

γ) Να αποδείξετε ότι $f(x)\geq x$ και $f'(x)\leq 1$ .

δ) Να αποδείξετε ότι για κάθε $x\geq 0$ .

Είναι εύκολο να δούμε ότι οι f,f'

είναι αύξουσες.(δεν με ενδιαφέρει κατά πόσο η λύση θα είναι σχολική)
1περίπτωση.

$f'(x)\leq 1,x> 0$

Ολοκληρώνοντας έχουμε $f(x)=f(0)+\int_{0}^{x}f'(t)dt\leq x$

Αρα $f(f(x))\leq f(x)\leq x$

Αντικαθιστώντας στην αρχική έχουμε

$x=f'(x)f(f(x))\leq 1x=x$

Αρα έχουμε παντού ισότητα οπότε προκύπτει f(x)=x

Γιατί αναγκαστικά θα είναι f'(t)=1

για

2περίπτωση .

Υπάρχει a>0

με

. Παίρνουμε

με

Ειναι $x\geq a\Rightarrow f'(x)\geq c$

Ολοκληρώνοντας παίρνουμε

$f(x)=f(a)+\int_{a}^{x}f'(t)dt\geq c(x-a)$

Υπάρχει $b\geq a$ ώστε $x\geq b\Rightarrow c(x-a)\geq a$

Ετσι για $x\geq b$ είναι

$f(f(x))\geq f(c(x-a))\geq c(c(x-a)-a)$

Αντικαθιστώντας τις ανισότητες στην αρχική παίρνουμε

$x\geq b\Rightarrow c(c(x-a)-a)\leq x$

Παίρνοντας στην τελευταία $x\rightarrow \infty$ άφου διαιρέσουμε με

έχουμε ΑΤΟΠΟ ( c>1

)

Αρα δεν υπάρχει 2περίπτωση και τελειώσαμε.

Νομίζω ότι οι προυποθέσεις μπορούν να εξασθενήσουν

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #36

Πράγματι μπορεί να διατυπωθεί ως εξής η άσκηση που πρότεινε ο Σιλουανός

Δίνεται $f:[0,\infty)\mapsto [0,\infty)$ τέτοια ώστε f(0)=0

και

για κάθε $x\geq 0$ .

Να αποδείξετε ότι f(x)=x

για κάθε $x\geq 0$

Λύση(μη σχολική)

Εχουμε ότι $x> 0\Rightarrow f'(x)> 0$ οπότε είναι γνησίως αύξουσα.

Μια βασική παρατήρηση είναι ότι $f(f(x))=x\Rightarrow f(x)=x$

Γιατί αν ήταν f(x)> x

τότε

άτοπο.Ομοίως για την άλλη περίπτωση.

Δεύτερη βασική παρατήρηση είναι ότι f'(0)=1

Λόγω Darboux είναι $f'(0)\geq 0$

Αν ήταν f'(0)< 1

τότε κοντά στο

θα ήταν

Τότε όμως $f(f(x))< c^{2}x$ οπότε $x=f'(x)f(f(x))< c^{2}xf'(x)$ και τελικά $f'(x)> \frac{1}{c^{2}}> 1$

που αντιβαίνει στην ιδιότητα Darboux για την παράγωγο.

Παρόμοιοι συλλογισμοί αποκλείουν την περίπτωση f'(0)>1

Θεωρούμε το σύνολο $A=\left \{ x\in [0,\infty ):f'(x)=1 \right \}$

Επειδή η

είναι συνεχής στο $(0,\infty )$ και f'(0)=1

είναι κλειστό στο $\mathbb{R}$

Αν $A\neq [0,\infty )$ τότε το συμπλήρωμα του στο $[0,\infty )$ θα ηταν ανοικτό στο $\mathbb{R}$

Αρα θα αποτελείται από ανοικτά διαστήματα τα οποία είναι ξένα ανά δυο.

Εστω (k,l)

ενα τέτοιο.

Θα έχουμε f'(k)=f'(l)=1

και βάσει της παρατήρησης f(k)=k,f(l)=l

Στο

θα έχουμε

η

Ας εξετάσουμε την πρώτη περίπτωση (η δεύτερη είναι όμια)

$f(l)-f(k)=\int_{k}^{l}f'(t)dt> l-k=f(l)-f(k)$ ΑΤΟΠΟ.

Αρα $A=[0,\infty )$ οπότε f(x)=x

Συμπλήρωμα.
Εγινε διόρθωση τυπογραφικού.

#37

Επειδή ο Σιλουανός άνοιξε την συζήτηση 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές για ασκήσεις που αντιστοιχούν σε 2ο & 3ο θέμα, στο εξής στην παρούσα συζήτηση προτείνουμε ασκήσεις που αντιστοιχούν στο 4ο θέμα.

#38

Σταύρο πολύ ωραία η λύση σου και τη γενίκευση! Σ' ευχαριστώ για την ενασχόληση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #39

Σιλουανέ δεν χρειάζεται να με ευχαριστείς που ασχολήθηκα .
Κοίτα πως αλλιώς μπορεί να διατυπωθεί.

Δίνεται $f:[0,\infty)\mapsto [0,\infty)$ Θέτουμε $f^{n}=fofof....of$

φορές (σύνθεση)

Αν f(0)=0

και για $x\in [0,\infty )$ υπάρχει $k(x)\in \mathbb{N}-\left \{ 0 \right \}$

ώστε $f'(x)f^{k(x)}(x)=x$

Να αποδείξετε ότι f(x)=x

για κάθε $x\geq 0$

Με απόδειξη ακριβώς ίδια με αυτήν που έκανα παραπάνω.

siobaras · #40

Θα βάλω αυτό που έβαλα στο διαγώνισμα προσομοίωσης του σχολείου μου, σχολιάζοντας ενδιάμεσα και στο τέλος το σκεπτικό μου.
Θα χαρώ να ακούσω γνώμες (όχι απαραίτητα θετικές).

Τα ερωτήματα Δ1 και Δ3 τα σκέφτηκα μόνος μου (αν και δεν αποκλείω να υπάρχει κάτι αντίστοιχο κάπου, είναι πολύ "λιτές" προτάσεις). Το Δ2 είναι πασίγνωστη ιδιότητα, φυσικά, αλλά μου ταίριαζε και το Δ4 το έκλεψα από το περσινό διαγώνισμα προσομοίωσης της Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης (το έχω δει και αλλού, αλλά δε θυμάμαι την πηγή και δεν ξέρω σε ποιον άλλον να αποδώσω τα εύσημα).

Θεωρούμε μια συνάρτηση

, κοίλη στο [a,b]

με

.

Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση έχει μοναδική ρίζα.

(Εξετάζει Bolzano ή ΘΕΤ, ορισμό κοίλης και θ.Rolle με τη λύση μου)

Δ.2 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από την ευθεία

για κάθε $x \in(a,b)$ , όπου A(a,f(a)), B(b,f(b))

(Εξετάζει ΘΜΤ, μονοτονία, μελέτη προσήμου συνάρτησης)

Δ.3 Αν επιπλέον δίνεται ότι f(a)=-f(b)

, να δείξετε ότι $\int _{a} ^{b} f(x)dx > 0$

(Εξετάζει υπολογισμό απλού ολοκληρώματος και ανισοτικές σχέσεις σε ολοκληρώματα)

Δ.4 Υποθέτουμε επιπλέον ότι $f''(x)<0, x \in[a,b]$ . Έστω $t \in[a,b]$ και E(t)

το εμβαδό μεταξύ της C_f

, την εφαπτομένη της C_f

στο

και τις ευθείες x=a, x=b

. Να βρείτε την τιμή του

για την οποία το E(t)

γίνεται ελάχιστο.

(Εξετάζει την ιδιότητα κοίλης-εφαπτομένης, υπολογισμό ολοκληρώματος και μελέτη μονοτονίας - ακροτάτων)

Δικό μου σχόλιο: Στα αρνητικά, δε μου πολυαρέσει που το Δ4 έχει κοινά πεδία που εξετάζει με προηγούμενο ερώτημα.
Κατά τα άλλα, με ικανοποιεί αισθητικά το ότι υπάρχει γεωμετρική ερμηνεία των ζητουμένων. Αυτός είναι και ο λόγος που αποφάσισα να βάλω και το Δ4, παρά την παραπάνω "σύγκρουση".

Σημείωση εκ των προτέρων: Αν τυχόν και τα Δ1, Δ3 είναι γνωστά ερωτήματα που υπάρχουν ήδη, παρακαλώ μη χιμήξετε, είμαι ειλικρινής ότι δεν τα πήρα από κάπου.
Κατά τα άλλα, κράξτε ελεύθερα!

Αμ΄ έπος αμ΄ έργον (προσομοίωση 4ου θέματος)

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον (προσομοίωση 4ου θέματος)

Μέλη σε σύνδεση