Σελίδα 1 από 1

Απορία στο Κριτήριο Παρεμβολής

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 20, 2011 12:19 am
από Γιώργος Απόκης
Στο σχολικό αναφέρει ότι για να εφαρμόσουμε το Κριτήριο Παρεμβολής, πρέπει να ισχύει g(x)\color{red}\leq \color{black} f(x) \color{red}\leq \color{black}h(x) κοντά στο x_0.

Μπορούμε να χρησιμοποιούμε το θεώρημα αν είναι g(x)\color{red}< \color{black} f(x) \color{red}< \color{black}h(x) κοντά στο x_0; Πώς θα δικαιολογήσει ο μαθητής το αποτέλεσμα;

Re: Απορία στο Κριτήριο Παρεμβολής

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 20, 2011 12:26 am
από Μπάμπης Στεργίου
Γιώργος Απόκης έγραψε:Στο σχολικό αναφέρει ότι για να εφαρμόσουμε το Κριτήριο Παρεμβολής, πρέπει να ισχύει g(x)\color{red}\leq \color{black} f(x) \color{red}\leq \color{black}h(x) κοντά στο x_0.

Μπορούμε να χρησιμοποιούμε το θεώρημα αν είναι g(x)\color{red}< \color{black} f(x) \color{red}< \color{black}h(x) κοντά στο x_0; Πώς θα δικαιολογήσει ο μαθητής το αποτέλεσμα;

Γιώργο, καλησπέρα !
Δε θεωρώ πως ο μαθητής έχει να δικαιολογήσει κάτι παραπάνω, πέρα από το να συνεχίσει και να αποδείξει ότι τα όρια των δύο συναρτήσεων g,h είναι ίσα.
Το γεγονός ότι η διάταξη στην περίπτωση που αναφέρεις είναι γνήσια , ουδόλως επηρεάζει την εφαρμογή του θεωρήματος, αφού η διάταξη του βιβλίου(με το ''='' καλύπτει και τη γνήσια.

Με άλλα λόγια η περίπτωση g(x)\color{red}\leq \color{black} f(x) \color{red}\leq \color{black}h(x) καλύπτει και την περίπτωση

g(x)\color{red}< \color{black} f(x) \color{red}< \color{black}h(x) .

Η αντίθετη περίπτωση είναι αυτή που θα ήθελε συζήτηση !


Αν έχεις κάτι άλλο στο μυαλό σου, ευχαρίστως να το κουβεντιάσουμε.

Μπάμπης

Re: Απορία στο Κριτήριο Παρεμβολής

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 20, 2011 12:37 am
από Γιώργος Απόκης
Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Το γεγονός ότι η διάταξη στην περίπτωση που αναφέρεις είναι γνήσια , ουδόλως επηρεάζει την εφαρμογή του θεωρήματος, αφού η διάταξη του βιβλίου(με το ''='' καλύπτει και τη γνήσια.
Mπάμπης
Ναι, ξεκάθαρο είναι τώρα! Ευχαριστώ Μπάμπη!

Re: Απορία στο Κριτήριο Παρεμβολής

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 20, 2011 2:12 am
από Α.Κυριακόπουλος
Γιώργος Απόκης έγραψε:Στο σχολικό αναφέρει ότι για να εφαρμόσουμε το Κριτήριο Παρεμβολής, πρέπει να ισχύει g(x)\color{red}\leq \color{black} f(x) \color{red}\leq \color{black}h(x) κοντά στο x_0.

Μπορούμε να χρησιμοποιούμε το θεώρημα αν είναι g(x)\color{red}< \color{black} f(x) \color{red}< \color{black}h(x) κοντά στο x_0; Πώς θα δικαιολογήσει ο μαθητής το αποτέλεσμα;
Γιώργο, νομίζω ότι πρέπει να δώσεις να καταλάβουν οι μαθητές, καταρχήν τον ορισμό:
\alpha  \le \beta \mathop  \Leftrightarrow \limits_{o\rho .} (\alpha  < \beta \dot \eta \alpha  = \beta ).
Για παράδειγμα ισχύουν: 3 \le 3 ( γιατί 3 = 3) και 3 \le 5 ( γιατί 3 < 5).
Στη συνέχεια είναι εύκολο να αποδειχθεί η συνεπαγωγή: \alpha  < \beta  \Rightarrow \alpha  \le \beta. Το αντίστροφο δεν αληθεύει. Για παράδειγμα ισχύει 3 \le 3, αλλά δεν ισχύει 3 < 3.
• Έτσι, λοιπόν, αν έχουμε:
g(x) < f(x) < h(x), κοντά στο{x_0}
θα έχουμε και
g(x) \le f(x) \le h(x), κοντά στο{x_0}.

Re: Απορία στο Κριτήριο Παρεμβολής

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 20, 2011 9:33 am
από G.Tsikaloudakis
και ένα απλό παράδειγμα:
κοντά στο 0 είναι:

\sqrt {x^2  + 1}  < \sqrt {x^4  + x^2  + 1}  < x^2  + 1

με:

\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sqrt {x^2  + 1}  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sqrt {x^4  + x^2  + 1}  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x^2  + 1) = 1.
Ακόμα , για κάθε x \ne 0 είναι

\frac{1}{{x^2  + 1}} < \frac{1}{{\sqrt {x^4  + x^2  + 1} }} < \frac{1}{{\sqrt {x^2  + 1} }}

αλλά:
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{x^2  + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{\sqrt {x^4  + x^2  + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{\sqrt {x^2  + 1} }} = 0

Re: Απορία στο Κριτήριο Παρεμβολής

Δημοσιεύτηκε: Τρί Δεκ 20, 2011 9:59 am
από Γιώργος Απόκης
Καλημέρα. Σας ευχαριστώ όλους για το "ξεκαθάρισμα" στις έννοιες!